Linguagem de programação

ELIPSES
Elipse ´ o conjunto todos os pontos P (x, y ) de um plano cuja soma das distˆncias a dois pontos fixos, F1 e e a
F2 , desse plano ´ constante (2a). A equa¸˜o geral de uma elipse ´ ax2 + by 2 + cx + dy + f = 0. e ca e ELEMENTOS da elipse
Centro: C (h, k )
V´rtices: A1 , A2 , B1 e B2 e medida do eixo maior: 2a medida do eixo menor: 2b
Focos: F1 e F2
Distˆncia focal: 2c a onde a2 = b2 + c2 ou c2 = a2 − b2
Excentricidade: e =

c a (0 < e < 1)

CASO 1: o eixo maior ´ paralelo ao eixo Ox (como na figura acima) e Equa¸˜o padr˜o: ca a

(x − h)2 (y − k )2
+
=1 a2 b2

Equa¸˜o reduzida: ca (x )2 (y )2
+ 2 =1 a2 b

Equa¸˜es param´tricas: co e

x = h + a cos θ y = k + bsenθ

(0 ≤ θ ≤ 2π )

V´rtices: A (h ± a, k ) e B (h, k ± b) e Focos: F (h ± c, k )

CASO 2: o eixo maior ´ paralelo ao eixo Oy e (x − h)2 (y − k )2
Equa¸˜o padr˜o: ca a
+
=1 b2 a2
Equa¸˜o reduzida: ca (x )2 (y )2
+ 2 =1 b2 a

Equa¸˜es param´tricas: co e

x = h + b cos θ y = k + asenθ

V´rtices: A (h, k ± a) e B (h ± b, k ) e Focos: F (h, k ± c)

(0 ≤ θ ≤ 2π )

Exemplo 1 Equa¸˜o geral da elipse: 16x2 + 25y 2 − 400 = 0 ca Centro: C (0, 0)
Semi-eixo maior: a = 5
Semi-eixo menor: b = 4

16x2 25y 2
400
+
=
=1
400
400
400
y2 x2 +
=1
400
400
16
25

V´rtices: A (±5, 0) e B (0, ±4) e x2 y2 +
=1
25 16

Focos: F (±3, 0)
Distˆncia focal: 2c = 6 a c2 = a2 − b2 = 25 − 16 = 9 ⇒ c = 3

x2 y 2
+ 2 =1
52
4
(Equa¸˜o reduzida) ca Excentricidade: e =

c
3
= a 5

Equa¸˜es param´tricas: co e

x = 5 cos θ y = 4senθ

Exemplo 2 Equa¸˜o geral da elipse: 9x2 + 4y 2 − 54x + 16y + 61 = 0 ca 9x2 − 54x + 4y 2 + 16y + 61 = 0 =⇒ 9 x2 − 6x + 4 y 2 + 4y + 61 = 0
=⇒ 9 (x − 3)2 − 9 + 4 (y + 2)2 − 4 + 61 = 0 =⇒ 9 (x − 3)2 − 81 + 4 (y + 2)2 − 16 + 61 = 0
=⇒ 9 (x − 3)2 + 4 (y + 2)2 − 36 = 0 =⇒ 9 (x − 3)2 + 4 (y + 2)2 = 36
=⇒

9 (x − 3)2 4 (y + 2)2
36
(x − 3)2 (y + 2)2
(x − 3)2 (y +