Jaque

Em Cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.
Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abssissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).
A regra da cadeia afirma que

que em sua forma sucinta é escrita como: .
Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

Exemplos
Considere f(x) = (x2 + 1)3. Temos que f(x) = h(g(x)) onde g(x) = x2 + 1 e h(x) = x3. Então,
F´(x)= 3(x²+1)² (2x)
= 6x(x² + 1 )².
Passo 6 – Faça a leitura do capítulo 3 – seção 3.5 do PLT, pesquise e demonstre a derivada da função seno e a derivada da função cosseno.
O conceito da derivada:
Seja a função cosseno: f(x) = cos(x)
Do conceito da derivada temos:
Então:
Aqui temos em diferença de cossenos. Comparando com a fórmula de prostaférese ( I ) e fazendo as devidas substituições, obtemos:

Neste momento, x passa a ser uma constante. Fazemos uma troca de variável, onde:

Então se: Então:
Portanto:

Aplicando o limite de t, obtemos:

Portanto:
Conclusão: Se:
Passo 4
Faça a leitura do capitulo 3 – seção 3.3 do PLT e enuncie a regra do produto e a regra do quociente. Dê quatro exemplos.
A regra do produto é dada por:
∂/∂x [f(x).g(x) ]=f^' (x).g(x)+f(x).g'(x)
Exemplos:
* f(x)= x.ex → f’(x)= ex(x+1)
* f(t)= (t3-7t2+1).et → f’(t)= et.(t3-4t2-14t+1)
* f(x)= e^x/x^2 → f’(x)= ex.x-2 = ex.(-2x-3+x-2)
* f(x)= k.2k → f’(k)= 2k+k.2k(ln2)
Já a regra do quociente é dada por:
∂/∂x [(f(x))/(g(x))]=(f'(x).g(x)+f(x).g'(x))/〖g(x)〗^2
Exemplos:
* f(x)= 〖25x〗^2/e^x → f’(x)=(〖(50x.e^x )+(25x〗^2.e^x))/((e^x ).(e^x)) → f’(x)=(〖(50x+25x〗^2))/e^x
* f(t)= (〖(3x〗^2+2x))/((x)) → ([(6x+2).x]+[〖(3x〗^2+2x).2x])/x^2 →