ITA2011_3dia

M AT E M Á T I C A
NOTAÇÕES

‫ގ‬: conjunto dos números naturais
‫ޚ‬: conjunto dos números inteiros
‫ޑ‬: conjunto dos números racionais
‫ޒ‬: conjunto dos números reais
‫ރ‬: conjunto dos números complexos i: unidade imaginária: i2 = – 1
–
z: conjugado do número z ∈ ‫ރ‬
͉z͉: módulo do número z ∈ ‫ރ‬
A\B = {x : x ∈ A e x ∉ B}
[a, b] = {x ∈ ‫ ޒ‬: a ≤ x ≤ b}
[a, b[ = {x ∈ ‫ ޒ‬: a ≤ x < b}
]a, b[ = {x ∈ ‫ ޒ‬: a < x < b}
Mm×n(‫)ޒ‬: conjunto das matrizes reais m × n det M: determinante da matriz M
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(A): número de elementos do conjunto finito A
—
AB: segmento de reta unindo os pontos A e B
—
—
^
A BC: ângulo formado pelos segmentos AB e BC, com vértice no ponto B k ∑ an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + ak xk, k ∈ ‫ގ‬

n=0

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

1

B

89
1
Dado z = ––– (– 1 + ͙ෆ
3 i), então ∑ zn é igual a
2
n=1

89
a) – ––– ͙ෆ
3 i.
2

b) – 1.

d) 1.

89
e) ––– ͙ෆ
3 i.
6

c) 0.

Resolução

͙ෆ
3
1
I) z = – ––– + ––– i = 1 (cos 120° + i . sen 120°)
2
2
͙ෆ
3
1
II) z2 = 1 . (cos 240° + i . sen 240°) = – ––– – ––– i
2
2
III) z89 = 189 . [cos (89 . 120°) + i . sen (89 . 120°) =
= cos 10 680° + i . sen 10 680° =
= cos 240° + i . sen 240° = z2
89
z . (1 – z89)
IV) ∑ zn = z + z2 + … + z89 = –––––––––– =
1–z
n=1 z . (1 – z2)
= –––––––––– = z . (1 + z) = z + z2 =
1–z
͙ෆ
͙ෆ
3
3
1
1
= – ––– + ––– i – ––– – ––– i = –1
2
2
2
2
I TA ( 3 º D I A ) – D E Z E M B R O / 2 0 1 0

2

C

Das afirmações abaixo sobre números complexos z1 e z2:
I) ͉z1 – z2⎪ ≤ ⎪⎪z1⎪ – ⎪z2⎪⎪.
–

–

–

II) ͉ z1 . z2⎪ = ⎪⎪z2⎪ . ⎪z2⎪⎪.
III) Se z1 = ͉z1͉ (cos θ + i sen θ) ≠ 0, então z1– 1 = ͉z1͉ – 1 (cos θ – i sen θ). é(são) sempre verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
d) apenas II e III.

c) apenas III.

e) todas.

Resolução

I) ͉z1 – z2͉ ≤ ͉͉z1͉ – ͉z2͉͉ é falsa, pois, se z1 = 1 e z2 = – 3, por exemplo, temos
͉z1͉ = 1, ͉z2͉ = 3, ͉z1͉ – ͉z2͉ = 1 – 3 = – 2,
͉͉z1͉ – ͉z2͉͉ = ͉– 2 ͉ = 2 e ͉z1 – z2͉ = ͉1 – (– 3)͉