Introdução analise

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O Conjunto dos N´ meros Reais u

O primeiro conjunto num´rico que consideramos ´ o Conjunto dos N´ meros e e u Naturais. Este conjunto est´ relacionado com a opera¸˜o de contagem: a ca N = {0, 1, 2, 3, ...}. Admitiremos conhecidas as opera¸˜es usuais adi¸˜o e multiplica¸˜o em N co ca ca bem como os conceitos de n´meros pares, ´ u ımpares e primos. O processo de medi¸˜o de grandezas f´ ca ısicas nos conduzir´ ao conjunto de a n´meros reais. u Problema: Medir um segmento AB. Fixamos um segmento padr˜o u e vamos chamar sua medida de 1. a Dado um segmento AB , se u couber um n´mero exato de vezes em AB, u digamos n vezes, ent˜o dizemos que a medida de AB ser´ n. a a Claramente isto nem sempre ocorre. Defini¸˜o: Dizemos que um segmento AB e o segmento padr˜o u s˜o ca a a ´ COMENSURAVEIS se existir algum segmento w que caiba n vezes em u e m vezes em AB. Voltando ao nosso problema de medi¸˜o, se o segmento AB e o segmento ca padr˜o u forem comensur´veis , conforme a defini¸˜o acima, diremos que a a a ca a a 1 medida de AB ser´ m . A medida do segmento w ser´ ent˜o n . a n Isto nos motiva definirmos um conjunto num´rico que inclua todas estas e poss´ ıveis medidas. Chamaremos este conjunto de Conjunto de N´ meros u Racionais Positivos: Q+ = { m |m, n ∈ N, n = 0}. n Alguns racionais representam as mesmas medidas. Por exemplo 2 e 1 . De 4 2 fato, se existe um semento w que cabe 2 vezes no segmento unit´rio ent˜o a a a metade deste segmento cabe 2 vezes nele e 4 vezes no segmento unit´rio. a 2 1 Vamos ent˜o dizer que 1 = 2 . De um modo geral dizemos que m1 = m2 se a 2 4 n n m1 n2 = n1 m2 . Continuando com o problema da medi¸˜o nos deparamos com um grande ca problema. Nem sempre dois segmentos s˜o comensur´veis. De fato, considerea a mos por exemplo a hipotenusa de um triˆngulo retˆngulo de catetos iguais a 1. a a Suponhamos que esta hipotenusa seja comensur´vel com o segmento unit´rio a a padr˜o u. a Ent˜o existiriam naturais n e m tais que a medida da hipotenusa seria a