Integrtal Por Partes e Substituição

Integral

No cálculo, a integral de uma função foi criada para originalmente determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade em todos os instantes.
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração. Todas elas visando resolver alguns problemas conceituais relacionadas a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. No entanto todas estas definições dão a mesma resposta para o resultado final de uma integração.
A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é:

Definição conceitual Integrando a área de uma função abaixo de uma curva

Para descrevermos a integral de uma função f(x) de um intervalo x entre [a, b] utiliza-se a notação:

A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma: onde:

é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), f(xi) é o valor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja que o limite esteja definido. O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar em linguagem matemática precisa. Por isto existem várias