Integral

Integral

Daniel Barboza Guimarães

Noção de Primitiva
Para entender a noção de primitiva precisamos nos reportar ao fato de que a derivada de uma função constante é zero. Portanto se ݂ tiver derivada zero em todos os pontos de um intervalo, então ݂ será constante neste intervalo.
Teorema: Seja ݂ contínua no intervalo ‫ .ܫ‬Se ݂ ᇱ ‫ ݔ‬ൌ Ͳ para todo ‫ ݔ‬interior a ‫ ,ܫ‬então existirá uma constante ݇, tal que ݂ ‫ ݔ‬ൌ ݇ para todo ‫ ݔ‬em ‫.ܫ‬
Como consequência desse teorema, temos que se duas funções tiverem derivadas iguais num intervalo, então, neste intervalo, elas diferirão por uma constante.
Corolário: Sejam ݂ e ݃ contínuas no intervalo ‫ . ܫ‬Se
݂ ᇱ ‫ ݔ‬ൌ ݃ᇱ ‫ ݔ‬em todo ‫ ݔ‬interior a ‫ ,ܫ‬então existirá uma constante ݇ tal que ݃ ‫ ݔ‬ൌ ݂ ‫ ݔ‬൅ ݇ para todo ‫ ݔ‬em ‫.ܫ‬

Noção de Primitiva
Definição: Seja ݂ uma função definida num intervalo ‫.ܫ‬
Uma primitiva de ݂ em ‫ ܫ‬é uma função ‫ ܨ‬definida em ‫ ,ܫ‬tal que ‫ ܨ‬ᇱ ‫ ݔ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ para todo ‫ ݔ‬em ‫ܫ‬
Sendo ‫ ܨ‬uma primitiva de ݂ em ‫ , ܫ‬então para toda constante ݇, ‫ ݔ ܨ‬൅ ݇ é, também primitiva de ݂. Portanto, as primitivas de ݂ em ‫ ܫ‬são as funções da forma ‫ ݔ ܨ‬൅ ݇, com ݇ constante. Dessa forma,
‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ ܨ‬൅ ݇, com ݇ constante é a família das primitivas de ݂ em ‫.ܫ‬

Noção de Primitiva
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Exemplo:
Seja ‫ ݔ ܨ‬ൌ Ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ‫ ݔ‬ଶ , então sabemos que ‫ ܨ‬Ʋ ‫ ݔ‬ൌ ͳʹ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݔ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ;
Considere agora ‫ ݔ ܨ‬൅ ͷ ൌ Ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͷ , então sabemos que ሺ‫ ݔ ܨ‬൅ ͷሻᇱ ൌ ͳʹ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݔ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ;
Considere agora ‫ ݔ ܨ‬൅ ͳͲ ൌ Ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ‫ ݔ‬ଶ െ ͳͲ , então sabemos que ሺ‫ ݔ ܨ‬െ ͳͲሻᇱ ൌ ͳʹ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݔ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ;
Portanto, ‫ ݔ ܨ‬൅ ݇ ൌ Ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ݇, então sabemos que
ሺ‫ ݔ ܨ‬൅ ݇ሻᇱ ൌ ͳʹ‫ ݔ‬ଶ ൅ ʹ‫ ݔ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ;

A notação que será usada para representar a família de primitivas de ݂ será:
න ݂ ‫ ݔ݀ ݔ‬ൌ ‫ ݔ ܨ‬൅ ݇

Noção de Primitiva
Onde ݂ሺ‫ݔ‬ሻ é chamado de integrando, ݀‫ ݔ‬indica que a operação deve ser feita em relação à variável ‫ .ݔ‬É comum referir-se a ‫ ݔ݀ ݔ ݂