Integral

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Apostila 2012
Objetivo(s): Contextualizar o conceito de Cálculo Integral I, dando ênfase as técnicas especiais de integração e suas principais aplicações na Engenharia.

Professora: Ana Flávia Guedes Greco Curso: Engenharia Disciplina: Cálculo Integral I

Aula 1: Introdução ao Cálculo Integral
1.1 Introdução Até o momento, nosso problema era: dada a função obter a sua derivada. A partir de agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada? A operação contrária à diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou anti-derivada. Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se F’(x) = f(x) para todo x em l. f(x). Mas não existe uma única integral, note, por exemplo, que: G(x) = x4 + x2 + x + 5 também é uma anti-derivada de f pois G’(x) = f(x0). Na verdade, qualquer função definida por H(x) = x4 + x2 + x + c onde C é uma constante qualquer, será uma integral de f. 1.2 Notação A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma função encontrada. O símbolo ʃ denota a operação de integral, e escrevemos:

EXEMPLO: Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1. F(x) = x4 + x2 + x é a anti-derivada da função f, pois F’(x0 =

∫ f ( x)dx = F ( x) se e somente se

dF ( x) = f ( x) dx

A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a expressão antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressão Integração Indefinida. Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos algumas regras, que veremos a seguir.

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1.3 Regras de Integração: Integrais Imediatas Pelo fato de integração e diferenciação serem operações inversas uma da outra, descobrimos muitas das regras de integração tentando inicialmente “adivinhar” a antiderivada f da função f a ser integrada. Tal resultado é então verificado demonstrando-se que f ’ = f. Em algumas