Integral

INTEGRAIS DUPLAS

VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS

Para calcularmos o volume se um sólido com integral dupla o processo é semelhante a integral definida.
Considerando uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado
R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }

f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).

Seja S o sólido que está contido na figura acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja,
S = {(x,y,z) IR3| (x,y)  R, 0 < z < f(x,y)}

O objetivo é determinar o volume de S.

O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos.
Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j } cada um dos quais com área A = xy.

Se escolher um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, pode-se aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:
Vij = f(xij , yij)A.
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:
V 
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.

V  melhora quando aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que:
V = .
Usamos essa expressão para