Integrais

Aula 15 Integrais inde¯nidas
15.1 Antiderivadas
F ¶ uma antiderivada ou uma primitiva de f , em I, se F 0 (x) = f(x) e para todo x 2 I. Ou seja, F ¶ antiderivada ou primitiva de f se F ¶ uma fun»~o cuja derivada ¶ f. e e ca e Como primeiros exemplos, temos f(x) 3x2 2 ex sen x primitiva de f (x) x3 2x ex ¡ cos x

Sendo f (x) e F (x) de¯nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que

Observa»~o 15.1 Se F ¶ antiderivada de f em I, e c ¶ uma constante, ent~o F + c ca e e a tamb¶m ¶ uma antiderivada de f em I. e e De fato, se F 0 (x) = f (x), para todo x 2 I, ent~o a e e [F (x) + c]0 = F 0 (x) = f (x), e portanto F (x) + c tamb¶m ¶ uma antiderivada de f (x) em I. p Assim, por exemplo x3 , x3 + 5 e x3 ¡ 2 s~o primitivas de 3x2 . a Veremos agora que, em um intervalo I, duas primitivas de uma mesma fun»~o ca diferem entre si por uma constante. Proposi»~o 15.1 Se F1 e F2 s~o antiderivadas de f , em I ½ R, ent~o existe c 2 R ca a a tal que F1 (x) = F2 (x) + c, para todo x 2 I. 125

Integrais indefinidas Para demonstrar a proposi»~o 15.1, faremos uso do seguinte resultado. ca

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Lema 15.1 Se f ¶ cont¶ e ³nua no intervalo [a; b] e f 0 (x) = 0 para todo x 2]a; b[, ent~o a f ¶ constante em [a; b], ou seja, existe c 2 R tal que f (x) = c para todo x 2 [a; b]. e Poder¶ ³amos aceitar o lema 15.1 como evidente e seguir adiante. No entanto, este lema ¶ conseqÄ^ncia de um teorema importante sobre fun»~es deriv¶veis, conhecido e ue co a como teorema do valor m¶dio. Como tornaremos a fazer uso do teorema do valor m¶dio e e mais adiante, julgamos oportuno cit¶-lo agora. a Teorema 15.1 (Teorema do valor m¶dio) Suponhamos que f ¶ uma fun»~o cone e ca t¶ ³nua no intervalo [a; b] e deriv¶vel no intervalo ]a; b[. Ent~o existe w 2 ]a; b[ tal que a a f (b) ¡ f (a) = f 0 (w) b¡a Aceitaremos este teorema sem demonstra»~o, e faremos uma interpreta»~o geca ca om¶trica de seu resultado. e f (b) ¡ f(a) ¢f ¶ a taxa de varia»~o m¶dia, e ca e , da fun»~o f , no interca O quociente b¡a ¢x valo