integrais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Prof.: Joaquim Rodrigues

INTEGRAIS
INTEGRAL INDEFINIDA
A integração indefinida ou anti-derivação é a operação inversa da derivação, da mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição ou a divisão é a operação inversa da multiplicação.

EXEMPLOS x4 4x 3
′
, então sua derivada é: f ( x) = ou f ′( x) = x 3 . Nesse caso, uma
1. Se f ( x) =
4
4
4
x das anti-derivadas de x 3 é
.
4
2. Se f ( x) = x 3 , então sua derivada é: f ′( x) = 3 x 2 . Nesse caso, uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de 3x 2 é x 3 .
3. Se f ( x) = x 3 + 7 , então sua derivada f ′( x) = 3 x 2 . Nesse caso, uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de 3x 2 é x 3 + 7 .
Note que nos exemplos, falamos “uma das anti-derivadas ou integrais indefinidas”.
Podemos entender melhor, quando observamos os exemplos 2 e 3, já que tanto x 3 quanto x 3 + 7 são integrais indefinidas para a mesma função 3x 2 .
Assim, vemos que a diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, veja:
1. no exemplo 2, a constante era o 0 ( x 3 = x 3 + 0)
2. no exemplo 3, a constante era o 7 ( x 3 + 7)
Representando essa constante por C, temos que a integral indefinida de 3x 2 é x 3 + C , onde C é uma constante real.
Indicamos a integral indefinida ou anti-derivada de f ′(x) por ∫ f ′( x) dx = f ( x) + C .

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Prof.: Joaquim Rodrigues

PROPRIEDADES
Utilizaremos as seguintes propriedades para realizar a integração das funções polinomiais elementares:
1.

∫ dx = x + C

2.

∫ k ⋅ f ( x) dx = k ⋅ ∫ f ( x) dx

3.

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx

x n +1
4. ∫ x dx =
+ C (n ≠ −1) n +1 n 5.

6.

[

]

d f ( x) dx = f ( x) , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria fundx ∫ ção. d f ( x) dx = f ( x) + C , ou seja, a integral da derivada de uma função, é a própria dx função mais uma constante