Integrais

9.2 Integrais Duplas
Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.
Definição
Considere uma função z  f (x, y) contínua e definida numa região fechada e limitada
D do plano xy.
D
x y z xk Dyk
D
z  f (x,y)
Traçando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a região D por pequenos retângulos. D x y xk Dyk
D
DAk
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 9-4
Considere somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em D, numerandoos de 1 a n.
Em cada retângulo Rk, tome o ponto Pk  (xk , yk) e forme a soma
SOMA DE RIEMANN: 

n k f
1
(xk , yk)DAk, onde DAk  D xkDyk é a área do retângulo Rk.
Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos ficam cada vez menores. Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito.
Então, se n lim 

n k f
1
(xk , yk)DAk existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA DE f (xk , yk)DAk sobre a região D.
Denota-se por:

D f (x, y)dA ou 
D
f (x, y)dxdy.
Interpretação Geométrica
Se f (x, y)  0, f (xk , yk)DAk representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo Rk e cuja altura é f (xk , yk). A soma de Riemann 

n k f
1
(xk , yk)DAk é a aproximação do volume limitado abaixo da região z e acima de D.
Assim, se z  f (x, y)  0,

D f (x, y)dxdy é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z  f (x, y), inferiormente pela região