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Etapa 3
Passo 1
Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.
A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.
Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de
Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de
430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa sequência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma ideia genial que deu origem ao método da exaustão.
A integral está ligada ao problema de determinar a área plana de uma figura qualquer. O entendimento é dado pelo cálculo de área usando o método do retângulo, de uma região R compreendida entre o gráfico da função f (x) com valores positivos, o eixo x, em um intervalo fechado [a,b]conforme a figura abaixo:

A área de uma região é definida, as vezes, como o número de quadrados de lados de comprimento um que “cabem” numa dada região. Ou seja a área de um figura plana é a soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Assim como na equação a baixo: .

Sendo assim se consideremos o caso da função:
Os valores do seno entre

e são positivos e entre e

são