Indice pluviometrico

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

4113E-04 Equações Diferenciais 4113U-04 Equações Diferenciais para Engenharia Química Trajetórias Ortogonais

1. Equações Diferenciais de uma Família de Curvas Na discussão que segue, estamos interessados em encontrar a equação diferencial [pic]sabendo que sua solução geral é a família de curvas [pic] conhecida. Por exemplo, encontre a equação diferencial da família [pic] .

2. Definição: Curvas Ortogonais Duas curvas [pic] são ortogonais em um ponto se, e somente se, suas retas tangentes T1 e T2 são perpendiculares no ponto de interseção. Exceto no caso em que T1 e T2 são paralelas aos eixos coordenados, queremos dizer que os coeficientes angulares m1 e m2 das retas tangentes T1 e T2 são negativos inversos um do outro (m1.m2 = -1).

Exemplo 1: Mostre que as curvas definidas por [pic] são ortogonais no(s) ponto(s) de interseção.

Exemplo 2: Mostre que qualquer curva da família [pic] , C [pic]é ortogonal a cada curva da família [pic].

1.3 Definição: Trajetórias ortogonais
Quando todas as curvas de uma família [pic] interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família [pic], então dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra.
Portanto, uma trajetória ortogonal é uma curva que intercepta toda a curva de uma família em um ângulo reto.

Trajetórias ortogonais ocorrem na construção de mapas meteorológicos e no estudo de eletricidade e magnetismo. Por exemplo, em um campo elétrico em volta de dois corpos de cargas opostas, as linhas de força são perpendiculares às curvas eqüipotenciais.

1.4 Método de Cálculo
Para encontrar as trajetórias ortogonais de uma da família de curvas, primeiro encontramos a equação diferencial [pic] que tem como solução geral essa família conhecida. A equação diferencial da família ortogonal é então [pic]. Resolvendo essa última equação