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Distribuição hipergeométrica

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição hipergeométrica é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de sucessos numa sequência de n extracções de uma população finita, sem reposição.
Seja N um conjunto tal que existem K elementos classificados como sucesso e N-K elementos classificados como insucesso. Um conjunto de n elementos é seleccionado, aleatoriamente e sem reposição, do conjunto de N elementos.
A variável aleatória X denota o número de sucessos na amostra. Então, X tem distribuição hipergeométrica e

onde x= 0,1,2,...,min(K,n) e onde refere-se ao coeficiente binomial, o número de combinações possíveis ao seleccionar elementos de um total .
O valor esperado da variável aleatória X é dado por

e a sua variância

.

Quando o tamanho da população é muito maior do que a amostra (isto é, N é muito maior que n) a distribuição hipergeométrica é razoavelmente bem aproximada pela distribuição binomial com parâmetros n (número de tentativas) e p = K / N (probabilidade de sucesso numa tentativa única).

Exemplo
Um jogo de loteria consiste em selecionar seis dezenas do conjunto de cem dezenas de 00 a 99, com uma bola para cada dezena e sem reposição. Num volante (cartão aposta) o jogador pode escolher de 6 a 12 dezenas. Qual é a probabilidade de acertar-se a quina (5 dezenas) marcando-se 10 dezenas no volante?
Temos:
N: total de dezenas, N = 100 n: total de dezenas sorteadas, n = 6
K: total de dezenas escolhidas, K = 10
X: total de sucessos, queremos X = 5

A probabilidade de se acertar a quina é de aproximadamente 0,0003%.

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