Graduando em engenharia eletrica

A DERIVADA DE UM INTEGRAL
HÉLIO BERNARDO LOPES

Resumo. O cálculo do valor da derivada de um integral ocorre com certa frequência na vida profissional de físicos, químicos, engenheiros, economistas ou biólogos. É frequente, contudo, surgir alguma dificuldade no decurso da sua aprendizagem. Este texto, assente na doutrina essencial e desenvolvido através de um conjunto vasto de exemplos significativos, visa, precisamente, ajudar os estudantes universitários de cursos de licenciatura diversos a ultrapassar os obstáculos referidos, assim conseguindo dominar um tema que é tão simples quão importante.

Com grande frequência, surge a necessidade de calcular a derivada do integral de certa função em determinado intervalo onde a função integranda seja contínua e integrável à Riemann. E é com igual frequência, porventura até maior, que se encontra uma estranha dificuldade dos jovens estudantes universitários no tratamento deste tema. Com a finalidade de fornecer aos referidos jovens um texto que mostre, com rigor e simplicidade, o que está em jogo neste domínio e como o tema é tratado, procedeu-se à elaboração desta nota breve, que se ilustra com um conjunto de exemplos considerado razoável para que a compreensão plena do tema e a respetiva dominância possam ter lugar. A resposta a esta pretensão é dada, essencialmente, pelo conhecido TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL. Seja

intervalo [a,b] ⊆ R. Nestas circunstâncias, a função, F : a , b ⎯→ R, definida por:

[ ]

f uma função integrável à Riemann no

F ( x) =

∫ f (t )dt a x

é contínua em [a,b], sendo diferenciável em qualquer ponto x 0 de [a,b], tendo-se:

F ' ( x 0 ) = f ( x 0 ). •
EXEMPLO. Pretende achar-se, para a função:

t3 +1 dt F ( x) = ∫ 2 t +1 0 x o valor de F ( 3) sem calcular o integral em estudo e sabendo que a função integranda está definida em

'

[0,7].
Ora, de acordo com o enunciado do teorema anterior, o valor procurado vale:

F ' (3) =
1

33 + 1 14 = .• 32 +