Geometria

Cap´ ıtulo 1

Matrizes e Determinantes
1.1 Generalidades

Iremos usar K para designar IR conjunto dos n´meros reais u C conjunto dos n´meros complexos. u Deste modo, chamaremos n´meros ou escalares u aos elementos de K. Sejam m e n inteiros positivos.

(1.1 a) Defini¸˜o. ca Chama-se matriz do tipo m × n sobre K a todo o quadro que se obt´m dispondo mn n´meros segundo m linhas e e u n colunas.
   A=  

a11 a21 . . .

a12 a22 . . .

··· ··· .. .

a1n a2n . . .

     

am1 am2 · · · amn

1

(1.1 b) Nota¸˜es. Usamos igualmente como abreviatura co A= ou aij ou ainda, simplesmente aij caso se subentenda o tipo da matriz. O n´mero u aij diz-se o elemento, entrada ou componente da matriz A. Em aij o i indica a linha onde se situa o elemento j indica a coluna onde se situa o elemento e, como tal, i diz-se o ´ ındice de linha j diz-se o ´ ındice de coluna do elemento aij . O elemento aij diz-se ainda o elemento (i, j) da matriz A. Para A matriz do tipo m × n de elementos sobre K i. a matriz A diz-se quadrada sempre que ii. iii. rectangular matriz-linha ou vector-linha iv. matriz-coluna ou vector-coluna n = 1; m = 1; m=n ; m = n; m×n aij

i=1,...,n ; j=1,...,n

2

Representamos por Mm×n (K) o conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre K. Com abuso de linguagem, usamos a nota¸˜o ca Km para representar Mm×1 (K), ou seja, para representar o conjunto das matrizes com m linhas e 1 coluna de elementos em K, as matrizes-coluna,
  a1     a2 Mm×1 (K) =  .  .  .    a     : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m ∼ =             

m

∼ K m = {(a1 , a2 , · · · , am ) : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m} . = (1.1 c) Defini¸˜o. ca As matrizes A= aij ∈ Mm×n (K), B = bk ∈ Mp×q (K)

dizem-se iguais sse m=p n=q e aij = bij , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.

(1.1 d) Nota¸˜es. co (I) Aos elementos da matriz (quadrada) A ∈ Mn×n (K) com igual ´ ındice de linha e coluna chamamos elementos diagonais de A, a11 , a22 , a33 ,