Geometria

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27/7/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos - Vetores
* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. * Das Provas de Álgebra-1, UDESC-CCT.

Pg.92, exercício 38: j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j Calcular o módulo dos vetores k + k e k@k, sabendo que | k | = 4, | k | = 3 e o ângulo entre k e k é de u v u v u v u v 60º. Solução: j j j j j j j j j j j j O exercício pede | k + k | e | k@k | , e para isso devemos lembrar de três conceitos: u v u v I) Ângulo entre dois vetores: kk jj jj jj uA v fffffff ffffff ffffff ffffff cos θ = k k j j j j j j | u |A | v |

II) Fatoração, quadrado perfeito: k k2 k2 j j j j j j j j j kk k 2 jj j jj j jj j | u + v | = | u | + 2 uA v + | v | III) Lei dos co-senos: k k2 k2 j j j j j j j j j k2 j j j k k j j j j j j | u @ v | = | u | + | v | @ 2| u | A | v |cosθ Do primeiro conceito: kk jj jj jj jk jj jj j ufff 1f kfff Av Av ffff f ufff fff fff f ffff fff cos 60º = [ = 4A3 2 12 jj jj jj assim kAk = 6 u v

Do segundo encontramos | u + v |: k k2 k2 j j j j j j j j j kk k 2 jj j jj j jj j | u + v | = | u | + 2 uA v + | v | tirando a raiz quadrada dos dois lados:

k k j j j j j j

| u + v | = q| u | + 2 u A v + | v |

k k j j j j j j

wwwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww k2 j j j kk k 2 jj j jj j jj j

Outra coisa importante é quanto ao módulo: k j j j k j j j Se | u | = 4 e | v | = 3 , então elevando os dois lados ao quadrado temos:
| u | = 16 e | v | = 9 k2 j j j k2 j j j

Agora substituímoswwfórmula anterior: na wwwwwww ww wwwwwww ww wwwwwww ww wwwwww wwwwww wwww w w w w k k pwwwwww j j j j j j wwwwwww pw | u + v | = 16 + 2.6 + 9 = 37 Do terceiro encontramos | u @ v |: k k2 k2 j j j j j j j j j k2 j j j k k j j j j j j | u @ v | = | u | + | v | @ 2| u | A | v |cosθ aqui tambémtiramos a raiz quadrada dos dois lados: wwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwww wwwwwwwwwwwwww