Geometria

5 AJUSTE DE CURVAS POR MÍNIMOS QUADRADOS

5.1 Introdução

O ajuste de curvas é muito utilizado para, a partir de dados conhecidos, fazer-se extrapolações. Por exemplo, conhece-se os dados de consumo anual de carga elétrica de uma cidade. A partir destes dados conhecidos, pode-se fazer projeções para o futuro e com isso, fazer-se um planejamento para que a cidade seja suprida de forma adequada nos anos subsequentes. A idéia é ajustar uma curva que melhor se ajusta aos dados disponíveis. Conhecida a equação da curva, pode-se determinar valores fora do intervalo conhecido.
Os dados conhecidos podem ser tabelados e obtidos por meio de experimentos. Como exemplo, seja os dados da tabela abaixo.

1,3
3,4
5,1
6,8
8,0

2,0
5,2
3,8
6,1
5,8

A partir dos dados disponíveis, pode-se desejar saber uma estimativa do valor da função em .
A partir dos dados disponíveis, pode-se construir um diagrama de dispersão, que é a representação em gráfico dos dados disponíveis.

O objetivo é encontrar uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados de e que nos permita extrapolar com uma certa margem de segurança.

5.2 Formulação Matemática

Seja o diagrama de dispersão anterior. A partir de uma análise do diagrama de dispersão deve-se definir uma curva para ser ajustada aos dados. No caso, ajusta-se os dados por uma reta dada pela função .

A questão é como definir a reta. Define-se para onde m é o número de pontos da amostra o desvio:

Uma primeira maneira de definir a reta seria minimizar a soma dos desvios, ou seja, minimizar . O valor de pode ser positivo ou negativo, assim, o somatório não seria representativo dos desvios. Uma primeira solução seria utilizar o somatório dos valores absolutos de , ou seja , entretanto o manuseio de expressões que aparecem valor absoluto é extremamente complexo. A solução mais factível é a utilização da somo dos