geometria

1
VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA
ENGENHARIA AMBIENTAL E ENGENHARIA CIVIL
PROF. EDER JOSÉ SIQUEIRA
1 – VETOR: Segmento orientado.
B

Extremidade

VETOR: Define-se:
- Módulo: Tamanho
- Direção: da reta suporte

V
AB = B − A = V

- Sentido: de A para B.

A Origem
2 – Segmento Nulo: Origem ≡ Extremidade
3 – Segmento Oposto: AB = − BA (Em módulo tem o mesmo tamanho)
B
B

A

A

4 – Segmentos Eqüipolentes:
Mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido
B
AB ≈ CD ≈ EF ≠ GH
A

F

G

D
E

H

C
5 – Representantes de um Vetor:
Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos eqüipolentes entre si.
Assim um segmento determina um conjunto que é o mesmo vetor.
As características de um vetor V são as mesmas de qualquer um de seus representantes , isto é: O módulo, a direção e o sentido dos representantes são os mesmos valores do vetor.

2 y 4
3
2
1
0

2

3

5

6

8

x

6 – Vetores Iguais:
Dois vetores AB e CD são iguais se e somente se, AB ≈ CD
7 – Vetor Unitário:
Um vetor V é unitário se V = 1.
8 – Versor:
É um vetor unitário de um vetor qualquer, que possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor.
Seja U um vetor qualquer, o versor do vetor U é o vetor V .
U

sendo que: V é versor de U

U

W não é versor de U
V

V =V =
U

U

W

=1

U

9 - Vetores Colineares:
Dois vetores U e V são colineares, se tiverem a mesma direção.

U

Sendo que U , V e W são colineares.
V

W

Z

3

10 – Vetores Coplanares:
Dois vetores são sempre coplanares, pois dois vetores determinam a base de um plano.
Três vetores podem ou não serem coplanares.
11 – Operações com vetores:
• Adição:

U

S = U +V

S

α
V

Pela lei dos Cossenos, temos:
2

2

S = U +V +2.U.V.cos α U

2

S

S = U +V

90º
V
•

Diferença:

U

D

α

V

Pela lei dos cossenos, temos:
2

2

D = U +V −2.U.V.cos