Geometria

Módulo 2
Disciplina MA004 – Geometrias Métrica e Espacial, Trigonometria Plana
Tema 4 – Trigonometria Plana
Data de entrega: 30/03/2012 (01/04/2012 valendo 70% da nota)

1. Resolva os itens abaixo:
a)(3,0)Prove que em qualquer paralelogramo, a soma dos quadrados dos lados é igual à soma dos quadrados das diagonais.

Desenhando a figura de um paralelogramo qualquer, temos:
[pic]
Onde:
D = Diagonal Maior d = diagonal menor a = medida dos lados CD e AB b = medida dos lados CA e DB

Traçando a altura, teremos:
[pic]
Aplicamos Pitágoras nos triângulos formados:

[pic]( I )

[pic]( II )

[pic]( III)

Vamos, agora, somar (II) e (III):

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Note que, dentro do parênteses acima, temos o resultado da equação (I). Podemos então, substituir[pic]. Vejamos:
[pic]

Ou seja, exatamente o que queríamos demonstrar. Do lado esquerdo tem a soma do quadrado das diagonais e do lado direito temos a soma dos quadrados dos lados.

b)(3,0)Calcule [pic], de modo que as raízes da equação [pic]sejam o seno e o cosseno de um mesmo ângulo.

Considerando as raízes:

[pic]
[pic]

Temos:

[pic]

Então:

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

[pic]

[pic]

Logo:

[pic]
[pic]

Portanto, a raiz que nos interessa é:

[pic], pois:[pic]

2.Resolva os itens abaixo:
a)(2,0) Mostre que [pic]

Sendo [pic].

Sabendo que,
[pic]
[pic]

Substituindo:
[pic]

Dividindo o numerador e o denominador por [pic]:

[pic]

[pic]

b) (2,0) Construa passo a passo, o gráfico da função [pic], identificando cada transformação aplicada a partir do gráfico da função [pic].

Resolução:
Utilizaremos o geogebra.
Logo teremos o gráfico do senx
[pic] Agora podemos fazer o gráfico de y = -2senx
[pic] Notamos que o gráfico acima está no intervalo de [-2,2]
Baseado no gráfico anterior vamos aumentar o seu período em 3 vezes:[pic]
[pic] Agora com base no gráfico anterior vamos fazer um deslocamento horizontal para