Geometria plana - reta

Equações da Reta |

1. Equação Vetorial da Reta
Considere um ponto A(x1,y1,z1) e um vetor não-nulo v=(a,b,c). Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P(x,y,z) pertence a r se, e somente se, o vetor AP é paralelo a v.
AP=tv⇒P-A=tv⇒P=A+tv
Expresso através de coordenadas: x,y,z=x1,y1,z1+t(a,b,c) Equação Vetorial de r.
Onde: v é chamado vetor diretor e t é denominado de parâmetro.

Exemplo: A reta r que passa por A(1,-1,4) e tem a direção de v=(2,3,2), tem a equação vetorial. x,y,z=x1,y1,z1+ta,b,c⇒x,y,z=1,-1,4+t(2,3,2) 2. Equações Paramétricas da Reta
A equação paramétrica da reta gera a partir da equação vetorial de r. x,y,z=x1,y1,z1+ta,b,c x,y,z=(x1+at, y1+bt, z1+ct) r: x1+aty1+btz1+ct (Equações paramétricas da reta)
Exemplos: A reta r que passa pelo ponto A(3,-4,2) e é paralela ao vetor v=(2,1,-3). Determine a equação paramétrica da reta. x,y,z=x1,y1,z1+ta,b,c⇒x,y,z=3,-4,2+t2,1,-3 r:x=3+2ty=-4+tz=2-3t 3. Reta definida por Dois Pontos.
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v=AB.
Exemplo: Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3,-1,-2) e B(1,2,4). v=AB=B-A=(-2,3,6) r:x=3-2ty=-1+3tz=-2+6t 4. Equações Paramétricas de um Segmento de Reta.
Consideremos a reta r do exemplo anterior e nela o segmento AB (origem A e extremidade B). Em que o ponto A(3,-1,-2) e B(1,2,4).

As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas da reta r.
AB:x=3-2ty=-1+3tz=-2+6t
As equações paramétricas do segmento BA:
BA:x=1+2ty=2-3tz=4-6t
As equações do segmento AB e BA com 0≤t≤1, são:
P=A+tB-A
P=B+t(A-B)
Onde P(x,y,z) representa um ponto qualquer do segmento. 5. Equações Simétricas da Reta
A partir das equações paramétricas da reta r: x1+aty1+btz1+ct, isolando os parâmetros e igualando-as temos: t=x-x1a; t=y-y1b;t=z-z1c x-x1a=y-y1b=z-z1c (Equações Simétricas da Reta)
Exemplo: a reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a direção do vetor