Geometria analítica- circunferencia

Equações da circunferência

Equação reduzida

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .
Equação geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.

Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1;

não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.

Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:

1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente

x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6

2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

( x - 3