Gauss
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www.fisicaexe.com.brCalcule o fluxo elétrico através de uma placa circular de raio a imersa num campo elétrico uniforme de intensidade E nos casos:
a) O campo é perpendicular à placa;
b) O forma um ângulo α com a placa.
Dados do problema
•
•
•
raio do disco: intensidade do campo elétrico: ângulo entre o campo elétrico e a placa:
a;
E;
α.
Solução
a) O fluxo elétrico é dado por
E =
∫ E .d A
(I)
A
Adotando o eixo x perpendicular à placa e na mesma direção se sentido do vetor campo elétrico (figura 1) este pode ser escrito como E =E i
(II)
onde i é o vetor unitário na direção x
(figura 1).
O vetor elemento de área pode ser escrito como dA =d A n
figura 1
(III)
onde n é o vetor unitário na direção perpendicular à placa. Substituindo as expressões (II) e (III) em (I), temos
∫ E i.d A n
=∫ E d A
i. n
E =
A
E
1
A
Observação: como i e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e como ambos estão na mesma direção o ângulo entre eles é nulo ( θ = 0 ), assim i .n = ∣ i∣∣ n ∣ cos 0 = 1. 1 . 1 = 1 .
E =
∫E d A
A
1
(IV)
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2
O elemento de área d A e ângulo d θ da placa será pela figura d A=r dr dθ
(V)
substituindo a expressão (V) em (IV), obtemos
E =
∫∫ E r d r d θ
O campo elétrico pode “sair” da integral e como não existem termos “cruzados” em r e θ as integrais podem ser separadas
E = E
figura 2
∫ r d r∫ d θ
Os limites de integração serão de 0 a a em d r (ao longo do raio do disco) e de 0 e 2π em d θ (uma volta completa no disco) a E = E
2π
∫ r d r∫ d θ
0
0
a
integração de
∫r dr
0
a
∫
0
r2 r dr =
2
à
∣
=
0
a2 02 a 2
−
=
2
2
2
2π
integração de
∫dθ
0
2π
∫ d θ = θ∣
2π
0
= 2 π−0 = 2 π
0
2
E = E
a
2π
2
2
E = π a E
b) Adotando um sistema de referência com o eixo x perpendicular à placa e o eixo y para cima paralelo à placa (figura
3) o vetor campo elétrico pode ser escrito como
E = E x iE y j
(VI) figura 3
2
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Para o vetor elemento de área vale a mesma