gabarito

UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral 2 - período 06.2
10 Exame de Avaliação - Turma 03 - Prof. MPMatos

1. (4,0 pontos) Calcule as seguintes integrais:
Z
Z x 3
2
√
(b)
dx
(a) sen x cos xdx
1 − x2

(c)

Z

x sen xdx

(d)

Z

x2

xdx
− 3x + 2

Solução:
(a) A substituição u = cos x e du = − sen xdx nos conduz ao cálculo:
Z
Z
Z
¡
¢
3
2
2
2
sin x sin x cos xdx =
1 − cos2 x cos2 x sin xdx = sin x cos xdx =
Z
Z
¡
¡ 4
¢ 2
¢
2
= −
1 − u u du = u − u2 du = 1 u5 − 1 u3 + C =
5
3
=

1
5

(cos x)5 − 1 (cos x)3 + C
3

(b) Com a substituição u = 1 − x2 e du = −2xdx, obtemos:
Z
Z
√
¡ √ ¢ du x
1
√
√ = − 1 2 u + C = − 1 − x2 + C dx = − 2
2
u
1 − x2

(c) Integrando Por Partes. Considerando u = x e dv = sen xdx, deduzimos du = dx e v = − cos x. Logo:
Z
Z
Z
Z x sen xdx = udv = uv − vdu = −x cos x + cos xdx = −x cos x + sen x + C
(d) Decompondo em Frações Parciais. Escrevemos: x2 x x A
B
(A + B) x − 2A − B
=
=
+
=
− 3x + 2 (x − 1) (x − 2) x−1 x−2 x2 − 3x + 2

e daí resulta A + B = 1 e 2A + B = 0. Logo, A = −1 e B = 2 e, portanto:
Z
Z
Z
−dx
2dx
xdx
=
+
= − ln |x − 1| + 2 ln |x − 2| + C
2 − 3x + 2 x x−1 x−2 2. (2,0 pontos) Calcule o comprimento da curva c descrita na forma paramétrica pelas equações: x (t) = cos 2t e y (t) = sin2 t,

0 ≤ t ≤ π/2.

Solução:
Inicialmente notamos que x0 (t) = −2 sen 2t e y 0 (t) = 2 sen t cos t = sen 2t e, usando a fórmula do comprimento, obtemos:
Z π/2 q
Z π/2 q
√ Z π/2 q
2
0 (t)2 + y 0 (t)2 dt =
L = x 5 (sen 2t) dt = 5
(sen 2t)2 dt =
0
0
0
¸π/2
¸
∙
∙
√ Z π/2
√
√
√
1
1
=
5
sen 2tdt = 5 − cos 2t
= 5 − (cos π − cos 0) = 5
2
2
0
0
3. (2,0 pontos) Usando Coordenadas Polares.
Seja D a região interior ao círculo r = 2 e exterior à cardióide r = 2 (1 − cos θ).
Calcule a área da região D.
Solução:
Observando a figura ao lado, deduzimos que:
Z
Z π/2
1 π/2
2
A(D) =