Física

2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

2.1 Introdução

A solução de sistemas lineares é uma ferramenta matemática muito importante na engenharia. Normalmente os problemas não-lineares são solucionados por ferramentas lineares.
As fontes mais comuns de problemas de equações lineares algébricas aplicados à engenharia incluem:

a) aproximação de equações diferenciais ou integrais contínuas através de sistemas discretas e finitos;
b) linearização local de sistemas de equações não lineares;
c) ajuste de curvas em dados.

2.2 Representação do Sistema Linear

Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo:

Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma:

x = b

onde:
A – matriz de coeficientes de ordem x – vetor de incógnitas de ordem b – vetor independente de ordem

Os tipos de solução do sistema dependem da matriz A:

A não-singular A singular

2.3 Métodos de Solução

2.3.1 Métodos Diretos – Fornece solução “exata” após um número finito de operações. Solução assegurada para matriz de coeficientes não-singular.

2.3.2 Métodos Iterativos – Processo de aproximação iterativa da solução. A convergência é assegurada sob certas condições.

2.3.3 Regra Cramer

A solução de cada componente do vetor de incógnitas é dado pela relação de dois determinantes:

onde:

= determinante da matriz A

= determinante da matriz A com a iésima coluna substituída pelo vetor independente b.

Exemplo da ordem de grandeza do tempo de solução para um sistema de ordem 20.

Operações necessárias:
a) Cálculo de 21 determinantes, cada um de ordem 20.

O determinante de uma matriz é definido como uma soma de termos ...... onde o símbolo – representa subscritos de permutações de 1 a n. No exemplo a soma tem 20! termos cada qual requerendo 19 multiplicações. Assim, a soluções