Funções vetorias

1 Funções Vetoriais

1.1. Definição Uma função vetorial é aquela cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. A equação σ (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k é chamada de equação vetorial e define uma curva C. As equações x=f(t), y=g(t) e z=h(t) são chamadas de equações paramétricas de C e pertencem a ℜ. r r r r

1.2. Limite de Funções Vetoriais Seja σ (t ) uma função com valores vetoriais cujos valores funcionais são dados por σ (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k . Então, o limite de σ (t ) quando t tende a t1 será definido por: t →t 1

r

r

r

r

r

r

r r r r lim ( σ ( t )) = [ lim f ( t )] i + [ lim g ( t )] j + [ lim h( t )] k t →t1 t →t1 t →t1

(1.1)

se lim f ( t ) , lim g ( t ) e lim h( t ) existirem. t→t1 t→t1 t→t1

1.3. Continuidade de Funções Vetoriais A função σ (t ) com valores vetoriais será contínua em t1 se, e somente se, as três condições seguintes forem satisfeitas: i. σ (t ) existe ii. lim σ (t ) existe t →t1

r

r

r

iii. lim σ (t ) = σ (t 1 ) t →t1

r

r

Capítulo 1 – Funções Vetoriais

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1.4. Derivada de funções vetoriais Se σ (t ) for uma função com valores vetoriais, então a derivada de σ (t ) também será uma função com valores vetoriais, denotada σ ' (t ) e definida por: σ ' ( t ) = lim v r

r

r

σ ( t + Δt ) − σ ( t ) Δt → 0 Δt

r

r

(1.2)

se o limite existir.

1.4.1. Propriedades da Derivada Teorema: Sejam R(t ) e F (t ) funções vetoriais definidas num intervalo I C ℜn, r um escalar e f uma função real. r r d r r ( R ± F ) = R' ( t ) ± F' ( t ) dt

r

r

1. 2. 3. 4. 1.

r d r ( rR( t )) = rR' ( t ) dt r r r d f (t )R (t ) = f ' (t )R (t ) + f (t )R' (t ) dt

[

]

r r r r r d r R(t ) ⋅ F (t ) = R' (t ) ⋅ F (t ) + R (t ) ⋅ F' (t ) dt

[

]

r r r r r d r R(t ) × F (t ) = R' (t ) × F (t ) + R (t ) × F' (t ) dt r d r dF ( f (t ) ) df (t ) 6. F ( f ( t )) = × dt d ( f (t ) ) dt

[

]

[

]

1.4.2.