Funções de Várias Variáveis

Cálculo II
Aula 1: Funções de Várias
Variáveis e Gráficos

Funções de Várias Variáveis

Funções de Várias Variáveis
Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa, a cada par ordenado de números reais (x,y) de um conjunto D, um único valor real denotado por f(x,y).
O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem o conjunto de valores de f, ou seja, {f(x,y)|(x,y)D}.

Exemplo 1
Determine os domínios das seguintes funções e calcule f(3,2).

a ) f ( x, y ) =

x + y +1 x -1

b) f ( x, y ) = x ln( y 2 - x)

Solução
a)

Solução
b)

Exemplo 2
Determine o domínio e a imagem de

g ( x, y ) = 9 - x - y
2

2

Solução

Gráficos

Exemplo 3
Esboce o gráfico da função f ( x, y ) = 6 - 3 x - 2 y

Exemplo 4
Desenhe o gráfico da função

g ( x, y ) = 9 - x - y
2

2

Exemplo 5
Determine o domínio, a imagem e o gráfico
2
2 de h( x, y ) = 4 x + y

Mais exemplos

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Mais exemplos

Curvas de Nível
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equações f(x,y) = k, onde k é uma constante.

Exemplo 1

Exemplo 2

Curvas isotérmicas

Exemplo 3
A figura a seguir mostra um mapa da função
f. Utilize-o para estimar os valores de f(1,
3) e f(4, 5).

f (1,3) » 73 f (4,5) » 56

Exemplo 4
Esboce o gráfico das curvas de nível da função f(x,y) = 6 – 3x – 2y para os valores k = -6, 0, 6, 12.

Exemplo 5
Esboce o gráfico das curvas de nível das funções g ( x, y ) = 9 - x - y , para k = 0,1, 2,3.
2

2

Exemplo 6
Esboce algumas curvas de nível da função

h ( x, y ) = 4 x + y
2

2

Exemplo 7

Exemplo 8

Funções com três variáveis
É uma regra que associa a cada tripla ordenada (x,y,z) em um domínio D3 um único número real denotado por f(x,y,z).

Exemplo 9
Determine o domínio de

f ( x, y, z ) = ln( z - y ) + xy sen z.
D = {( x, y, z ) Î R | z > y}
3

Superfície de nível
São as superfícies com equação