Funções de varias variaveis

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1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1.1. Funções trigonométricas inversas
1.1.1.

As funções arco-seno e arco-cosseno

Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções inversas, se considerarmos uma restrição injectiva dessas funções.

Definição 1.1: Chama-se restrição principal da função seno, à
⎡ π π⎤ restrição do seno ao intervalo ⎢− , ⎥ , isto é,
⎣ 2 2⎦

⎡ π π⎤ g : ⎢− , ⎥ → [− 1,1]
.
⎣ 2 2⎦ x senx

Definição 1.2: Chama-se arco-seno à função inversa de g, definida por: arcsen :

[− 1.1] → ⎡− π , π ⎤ .
⎢ 2 2⎥
⎣
⎦ x arcsen x

2

Pela definição da função inversa, temos
⎧ sen y = x
⎪
y = arcsen x ⇔ ⎨ π
π.
− ≤ y≤
⎪ 2
⎩
2

Gráfico da função g

Gráfico da função arco-seno

Nota: A função arco-seno é crescente.

Exemplo 1.3: Calcule arcsen
Exemplo
f (x ) =

1.4:

2
.
2

Caracterize

a

função

inversa

de

1 arcsen(3 x − 1) .
2

Definição 1.5: Chama-se restrição principal da função cosseno, à restrição de cosseno ao intervalo [0, π ] , isto é, g: [0,π ] → [− 1,1] x cos x

.

3

Definição 1.6: Chama-se arco-cosseno à função inversa de g, definida por: arccos :

[− 1.1] x → [0, π ] arccos x

.

Pela definição da função inversa, temos

⎧ cos y = x
.
y = arccos x ⇔ ⎨
⎩0 ≤ y ≤ π

Gráfico da função arco-cosseno

Nota: A função arco-cosseno é decrescente.
⎛
2⎞
Exemplo 1.7: Calcule arccos⎜ −
⎜ 2 ⎟.
⎟
⎝
⎠

Exemplo

1.8:

Caracterize

f ( x ) = cos(3 x + 2) − 1 .

a

função

inversa

de

4

1.1.2.

A função arco-tangente

Como a função tangente não é injectiva no seu domínio, só poderemos definir a sua função inversa, se considerarmos uma restrição injectiva dessa funçõe.

Definição 1.9: Chama-se restrição principal da função
⎤ π π⎡ tangente, à restrição da tangente ao intervalo ⎥ − , ⎢ , isto é,
⎦ 2 2⎣
⎤ π π⎡ g : ⎥ − , ⎢ → IR
⎦ 2 2⎣ x tg x

Definição 1.10: Chama-se