Funções Aritméticas

Funções Aritméticas
Introduziremos o conceito de funções aritméticas e apresentaremos resultados sobre as funções aritméticas multiplicativas. Como será visto, para avaliarmos uma função multiplicativa será suficiente sabermos seu valor em potências de primos. Embora neste trabalho estejamos abordando apenas aspectos elementares de algumas funções aritméticas multiplicativas, vale mencionar que este conceito é de fundamental importância em
Teorias Algébrica de Números( produto de Dirichlet) e Teoria
Analítica de Números( séries de Dirichlet).

Sejam as funções (n) e
(n)
Definição 4.1: Chamamos função aritmética a uma função definida para todos os inteiros positivos Definição 4.2 (n) é o número de divisores positivos de n.
(n) é a soma dos divisores positivos de n.

Podemos expressar estas funções também com a notação somatório da seguinte forma:
(n) =

1 dIn (n) =

d dIn Proposição 4.1:
Se

O que está fórmula nos diz?

Ex: Como 12 = 22. 3 temos

(12) = (2+1). (1+1) = 6

Proposição 4.2: Para p primo e a um inteiro positivo temos:
(pa) = pa+1 – 1 p–1 Como 12 = 22 . 3, temos
Ex:
(12) =( 22+1 – 1 ). (31+1 – 1 ) = 28
2–1
3-1

Estas duas funções que estudamos no exemplo anterior, são exemplos de funções
Multiplicativas.

Definição: uma função multiplicativa é uma função aritmética (não nula) tal que f(m.n) = f(m) . f(n) para todo o par de inteiros positivos m e n relativamente primos.
Uma função aritmética para qual f(m.n) = f(m).f(n) para quaisquer m e n é chamada completamente multiplicativa.
Ex: f(m.n) = f(m).f(n) f(12.7) = f(12).f(7)

(12.7) =
12

(12).
12

(7)

Proposição 4.3: Se n= p1a1p2a2p3a3...prar, então

Exercícios: Calcule

Calcule:

a)

(16) =

5

e)

(16) = 31

b)

(50) =

6

f)

(50) = 93

c)

(144) =

15

g)

(144) = 403

d)

(47) =

2

h)

(47) = 48

Agora vamos verificar as funções multiplicativas

f(m.n) = f(m).f(n)
f(16.47)