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MSL – EPH: O Raciocínio Recursivo

CAPÍTULO I

O RACIOCÍNIO RECURSIVO

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SECÇÃO 1

O CONCEITO DE RECURSÃO

Em relação ao problema da natureza dos objectos do raciocínio matemático, o ponto de vista finitista [ Grundlagen I, §2, c) ] defende, em oposição à concepção realista, que estes objectos são construções do sujeito cognitivo sem existência independente deste.
Em particular, a construção de um objecto M só é autorizada se for realizada a partir de um ou partes de um objecto já previamente construído N. Assim a construção de M é na verdade o processo da geração de M através de N.
Se M for uma função aritmética, então a definição construtivista de M será uma construção da função M a partir de funções já previamente construídas.
Nesta secção vamos identificar os princípios na base dos quais se pode proceder à construção de uma função aritmética a partir de funções já previamente construídas.

Definição 1.

[ Funções Iniciais ]

Chamam-se funções iniciais às seguintes funções:
i) A Função Zero

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(∀x) Z (x) = 0 ii) A Função Sucessor
(∀x) N (x) = x + 1 iii) A Função Identidade n (∀x1, ..., xn) U (x1, ..., xn) = xi . i Passamos agora à identificação das regras por meio das quais se pode construir funções a partir de funções já construídas, em particular a partir das Funções Iniciais da Definição 1.

Definição 2.

[ Regra da Substituição ]

Uma função aritmética f (x1, ..., xn) é construída por Substituição a partir da função g (y1, ..., ym) e da sucessão de funções h1 (x1, ..., xn), ..., hm (x1, ..., xn) se e somente se o seu valor é determinado pela equação f (x1, ..., xn) = g [ h1 (x1, ..., xn), ..., hm (x1, ..., xn)] .

Definição 3.

[ Regra da Recursão ]

Uma função aritmética f (x1,...,xn) é construída por Recursão a partir de funções aritméticas g e h se

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