folha 5 1415

I

S

C
A
Matemática Aplicada II

C
Folha n.o 5

Ano Lectivo 2014/2015
II. FUNÇÕES REAIS DE DUAS VARIÁVEIS REAIS: 3.Derivadas parciais
4.Diferenciais

5.Derivada da função composta
1. Considere a função f definida por f (x, y) = x2 y. Usando a definição, calcule:
∂f
∂f
(a)
(0, 0);
(b)
(1, 2).
∂x
∂y
2. Para cada uma das funções seguintes, calcule, caso existam, as derivadas parciais de 1a ordem nos pontos indicados:

xy2

 se (x, y) = (1, 0)
(x − 1)2 + y 2
(a) f (x, y) =
; (1, 0) e (0, 0) .

 1 se (x, y) = (1, 0)

 2x + (y + 1) cos (x) se (x, y) = (0, −1)
(b) g (x, y) =
; (0, −1) e (−π, 0) .
 x se (x, y) = (0, −1)

 x2 + y 2 se (x, y) = (0, 0)
(c) k (x, y) =
; (0, 0) e (−1, 3) .
 0 se (x, y) = (0, 0)

3. Determine o domínio, as expressões das primeiras derivadas parciais e o domínio das primeiras derivadas parciais de cada uma das seguintes funções:
(a) f (x, y) =

x y
− ; y x

(b) g (x, y) = ln (xy);
2

(d) k (x, y) = −x2 − y 3 ;

xy + y 2
;
x2 + y 2
(h) o (x, y) = ln x2 + y 2;
(e) l (x, y) =

(g) n (x, y) = x3 y 2 + x2 sin(xy);

4. Seja f a função real definida em IR2 por

x

x4 + y 2 f (x, y) =
 0
Caracterize as funções

se (x, y) = (0, 0)

(c) h (x, y) = exy + sen (3x2 );
(f) m (x, y) = cos(x2 + y 2 );
(i) p (x, y) = sen (y x ).

.

se (x, y) = (0, 0)

∂f ∂f e .
∂x ∂y

5. Para as funções das alíneas (b) e (c) do exercício 3, determine as expressões e o domínio das suas segundas derivadas parciais.

1

6. Seja f a função definida por f (x, y) = x3y + 2x + y − 3, com (x, y) ∈ IR2. Calcule:
∂2f
∂ 2f
∂f
∂ 2f
(1, 0);
(b)
(1,
0);
(d)
(1, 0).
(a)
(1,
0);
(c)
∂x
∂x2
∂y∂x
∂x∂y
7. Aplicando a condição suficiente de diferenciabilidade e ainda o facto de que se uma função é diferenciável num ponto do interior do seu domínio, então é contínua nesse ponto, averigue se é diferenciável, no ponto dado, a função:
(a) f (x, y) = ex+y ; (−1, −2) ;

 xy + 1 se (x, y) = (0, 0)
(c) h (x, y) =
; (0, 0) .
 2 se (x, y) = (0, 0)

1

3

(b) g (x, y) = 2x 4 y 4 ; (2, 1) ;