Flexão

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Módulo 5: Flexão

FLEXÃO

1

1. Motivação

2. Premissas básicas
Hipótese fundamental: as seções planas de uma viga permanecem planas após a flexão

2

2. Premissas básicas
A partir da hipótese fundamental: a deformação evolui de forma linear ao longo da espessura da viga.

ε = lim

∆x → 0

∆u du = ∆x dx

ε = ε máx

y c

3. Flexão elástica
Distribuição de tensões de flexão

Para um material na região linear elástica (lei de Hooke):

σ = Eε

→

σ = Eε máx

y c

3

3. Flexão elástica
Impondo equilíbrio na direção x

I = ∫ y 2 dA
A

∑F
∫σ
A

x

=0 y dA = 0 c

M = ∫ σ x dA. y
A

M=
M=

σ máx c ∫ y dA
2

A

máx

M = ∫ σ máx
A

y . ydA c

σ máx c I

σ máx c ∫ ydA = 0
A

M =∫
A

σ máx c y 2 dA

σ máx =

Mc I

4. Características geométricas
Centróide de área

y=

∫ y.dA
A

∫ dA
A

z=

∫ z.dA
A

∫ dA
A

4

4. Características geométricas
Questão 01. Determine o centróide da seção transversal abaixo:

z=

∑z A i =1 n i

n

i

∑A i =1

y=

∑yA i =1 n i

n

i

i

∑A i =1

i

4. Características geométricas
Questão 02. Determine o centróide da seção transversal abaixo:

z = 4 cm

y = −1, 45 cm

5

4. Características geométricas
Momento de inércia de área

I y = ∫ z 2 dA
A

I z = ∫ y 2 dA
A

J = I y + I y = ∫ ρ 2 dA
A

Quando os eixos x e z passam pelo centróide são denominados de eixos principais:

I yz = ∫ yz.dA
A

4. Características geométricas
Questão 03. Para a geometria a seguir, determine Iz, Iy, Iyz:

I y = ∫ z 2 dA = ∫ ∫ z 2 dydz
A y z

I z = ∫ y 2 dA = ∫ ∫ y 2 dzdy
A z y

I yz = ∫ yz.dA = ∫ y.dy ∫ z.dz
A y z

6

4. Características geométricas
Teorema dos eixos paralelos

I z ' = ∫ ( y + ∆y ) dA
2 A

I z ' = ∫ y 2 dA + 2∆y ∫ ydA +∆y 2 ∫ dA
A A A

Lembrando que:

∫ ydA = 0
A

I z ' = I z + ∆y 2 . A

Por analogia temos:

I y ' = I y