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Coordenadas Polares

Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P=(a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo y. Podemos também descrever a localização de P a partir da distância de P à origem O do sistema e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento
OP, caso P≠O. Denotamos P=(r,θ) onde r é a distância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso P≠O. Se P=O, denotamos P=(0,θ), para qualquer θ. Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas Polares.

Exemplo.
Ponto Coordenada cartesiana Coordenada polar

E (1,1) (2,π/4) F (-2,2) ( 2,3π/4)
Para representar pontos em coordenadas polares, necessitamos somente de um ponto O do plano e uma semi–reta com origem em O. Representamos abaixo um ponto P de coordenadas polares (r,θ), tomando o segmento OP com medida r.

O ponto fixo O é chamado polo e a semi–reta, eixo polar.
Denotamos um ponto P por (r,–θ), para r e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário.
Assim, (r,–θ) = (r,2π–θ) e (r,–θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixo polar.
Exemplo. (1,–π/4) = (1, 7π/4)

Denotamos P por (–r,θ), para r positivo, se P=(r,π + θ), ou seja, consideramos (–r,θ)=(r,θ+π). Assim, (–r,θ) é o simétrico de (r,θ) em relação ao polo.

Exemplo. (3,π/2) = (–3,3π/2)

(r,θ) = (r,θ+2π) = (r,θ+4π) = (r,θ – 2π) = (r,θ – 4π) = | |
Dado um ângulo θ, temos θ = θ+2kπ, para todo k inteiro. Assim, Exemplo. (5,π/2) = (5, π/2 + 10π) = (5, 21π/2)
Mudança de coordenadas
Um ponto P do plano pode ser representado em coordenadas cartesianas por (x,y) ou em coordenadas polares por (r,θ). Para facilidade de comparação entre os dois sistemas, consideramos o ponto O coincidindo com a origem do sistema cartesiano e a semi-reta, a parte do eixo x, à direita de O.
a) Mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas
Seja P um ponto