Fisica aplicada engenharia

Li¸oes nos 33 e 34: Derivada direccional e gradiente. c˜ Taxa de varia¸˜o m´xima, m´ ca a ınima e nula1
Nesta li¸ao vamos generalizar a no¸ao de derivada parcial de uma fun¸ao c˜ c˜ c˜ f num dado ponto (a, b), introduzindo a chamada a derivada direccional fu (a, b), que mais n˜o ´ que a taxa de varia¸ao de f segundo u, u = 1. a e c˜ Em seguida investigaremos as direc¸oes segundo as quais esta taxa ´ m´xima, c˜ e a m´ ınima ou nula. Defini¸ao 1 Consideremos uma fun¸ao f : D f ⊂ R2 → R, Df um conc˜ c˜ junto aberto, e um ponto (a, b) ∈ Df . Chama-se gradiente de f em (a, b) e representa-se por grad f (a, b) ou f (a, b) ao vector das suas derivadas parciais em (a, b), grad f (a, b) = fx (a, b), fy (a, b) . Note que grad f (a, b) = Exemplos a Seja f (x, y) = e2x−3y . Ent˜o grad f (x, y) = (2e2x−3y , −3e2x−3y ). Em particular, teremos grad f (1, 0) = 2e2−0 , −3e2−0 = 2e2 , −3e2 . Vamos agora generalizar a no¸ao de derivada parcial. c˜ Defini¸ao 2 Seja f for uma fun¸ao diferenci´vel em (a, b) e u um vector c˜ c˜ a unit´rio, i.e., u = 1. Definimos a derivada direccional de f no ponto (a, b) a denotada por fu (a, b), fu (a, b) = grad f (a, b) · u. fx (a, b) fy (a, b) = fx (a, b) fy (a, b)
T

= f (a, b)T .

Exemplo Pretende-se calcular para a fun¸ao f (x, y) = xe y , c˜ f
√ √ 5 2 5 , 5 5

(2, 3).

Uma vez que f ∈ C 1 (R2 ) (fx = ey e fy = xey s˜o fun¸oes cont´ a c˜ ınuas em R2 ) ´ diferenci´vel em R2 e em particular ´ diferenci´vel no ponto (2, 3). Assim, e a e a √ √ 5 2 5 √ √ f 5 2 5 (2, 3) = grad f (2, 3) · , , 5 5 5 5 √ √ 5 2 5 = (e3 , 2e3 ) · , 5 5 √ √ 5 3 2 5 3 = e + 2e 5 5 √ 3 = 5e .
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Adaptadas das folhas de apoio da disciplina de An´lise Matem´tica II. a a

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Importa fazer algumas observa¸oes importantes relacionadas com a no¸ao c˜ c˜ de derivada direccional. Observa¸oes: c˜ 1. As derivadas parciais s˜o casos particulares das derivadas direccionais: a fx (a, b) = f(1,0) (a, b) e fy (a, b) = f(0,1) (a, b).

2. Assim como as derivadas parciais f x