Fatoração de polinômio

p(x)= 12x^5 - 20x^4 -17x³ + 18x² + x - 2
Para encontrar as raízes inteiras de p(x), devo testar os divisores do termo constante -2 que são -1,+1,-2,+2, substuindo em p(x): p(-1)= = -12-20+17+18-3=0 é raiz, pois zerou p (1)= = 12-20-17+18-1= -8 não é raiz p(-2)== 12.(-32)-20.16-17.(-8)-4= -384-320+136+72-4= -500 não é raiz p (2)= = 12.32-20.16-17.8+18.4 = 384-320-136+72=0 é raiz

Achando q(x): Se -1 e +2 são raízes de p(x), logo p(x) é divisível por x+1 e x-2 respectivamente.
Usando o dispositivo de Briot Ruffini: p(x): x-2
2* x-2=0 x=2 termo constate do divisor -2* Termo constante do dividendo

p²(x)=
Possíveis raízes inteiras: -1, +1 Testando: p(1)= 12+4-9+1=8 não é raiz p(-1)= = 12-4-9+1=0 é raiz p²(x) : x+1

p²(x)= 12x³-8x²-x+1

p²(x)= 12x³-8x²-x+1 D(1)= -1,+1 D(12)= -1,+1,-2,+2,-3,+3,-4,+4,-6,+6,-12,+12
Possíveis raízes: -1/2, +1/2, -1/3, +1/3, -1/4, +1/4, -1/6,+1/6, -1/12,+1/12
Testando: p(-1/2)= 12.(-1/2)³ - 8.(-1/2)² – ½ +1= -12/8 – 8/4 – ½ +1= -3/2 – ½-1= -1 não é raiz p(1/2)= 12.(1/2)³ - 8.(1/2)² – ½ +1= 12/8 – 8/4 – ½ +1= 3/2 -2 -1/2+1= -1+1=0 é raiz p²(x) : x – ½

p³(x)= 12x² -2x – 2 (: 2) 6x² – x – 1 = 0
Como p³(x) é um polinômio de grau 2, posso utilizar a fórmula de Bhaskara.
Δ = b² – 4ac x = - b ± ѴΔ / 2a
Δ = (-1)² – 4.6(-1)= 25 x = 1 ± 5 / 12 x' = 6/12 = 1/2 e x'' = - 4/12 = - 1/3
As cinco raízes são: -1, 2, ½, ½, - 1/3, logo: 12(x+1)(x-2)(x-1/2)(x-1/2)(x+1/3) (x+1)(x-2)2(x-1/2)2(x-1/2)3(x+1/3) A fatoração é: (x+1) (x-2) (2x-1)² (3x+1)