Exponencial

Equações Exponenciais e Logarítmicas
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS DE SINOP DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 1.Equações exponenciais 2.Equações logarítmicas 3.Exercícios

Equações Exponenciais e Logarítmicas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

1. Equações exponenciais

1. Equações exponenciais

Abordaremos agora as equações exponenciais que não podem ser reduzidas a uma igualdade de potências de mesma base pela simples aplicação das propriedades das potências. A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na definição de logaritmo, isto é, se 0 < a ≠ 1 e b > 0, tem-se:

Exemplos:
1) Resolva as equações:
a) 2x = 3 b ) 5 2 x −3 = 3

ax = b ⇒ x = loga b

3

4

1. Equações exponenciais

1. Equações exponenciais

Solução:
a) 2x = 3 ⇒ x = log2 3 S = {log2 3}

Exemplos:
2) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função X(t) = Cekt, em que X(t) é o número de bactérias no tempo t ≥ 0; C, k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando que o número inicial de bactérias X(0) duplica em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas?

b ) 5 2 x −3 = 3 ⇒

52 x = 3 ⇒ 25 x = 375 ⇒ x = log25 375 53 S = {log25 375}

5

6

1. Equações exponenciais

1. Equações exponenciais

Solução: t =0 X (t ) = Cekt → X (0) = C ⋅ e k ⋅0 = C

Resposta: Ao final de 6 horas, o número de bactérias é aproximadamente 2,83 vezes o valor inicial.

X (4) = C ⋅ e 4k = 2C (duplica em 4 horas) ∴ e 4 k = 2 ⇒ 4k = ln 2 ⇒ k = Então, para t = 6, vem: X (6) = C ⋅ e 6 ln = C ⋅ eln 2
4

1 ln2 ⇒ k = ln 2 4 ⇒ k = ln 4 2 4

2 2

= C ⋅e

ln

( 2)
4

6

= C ⋅e

ln

( 2)

3

= C ⋅ eln

23

=
7
8

= C ⋅ 2 2 ≅ 2,83 ⋅ C

1. Equações exponenciais

1. Equações exponenciais

Exemplos:
3) Resolva a equação 23 x − 2 = 3 2 x +1.

Solução:
23 x −2 = 32 x +1 ⇒ x 23 23 x = 32 x ⋅ 3 ⇒ 2 2 32

( ) ( )

x x

= 22 ⋅ 3 ⇒

8x = 12 ⇒ 9x

8 ⇒  