Exercícios de Matemática Discreta

Questão 1

Denotemos por A o conjunto dos funcionário da UFAL e representemos a relação “x é chefe de y” da seguinte forma:

R={(x, y) ∈ AxA | x é chefe de y}

a) Podemos representar o fato de R ser uma relação simétrica da seguinte forma: (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R, para quaisquer que sejam x, y ∈ A;

Nesse caso estamos afirmando que se x é chefe de y, então y é chefe de x, ou seja, dois funcionários são mutuamente chefes, mas sabemos que isso não deve acontecer, logo a relação “x é chefe de y” não é simétrica.

b) Neste caso temos que verificar se a relação “x é chefe de y” é transitiva, ou seja

((x, y) ∈ R) e ((y, z) ∈ R) ⇒ (x, z) ∈ R, para quaisquer que sejam x, y, z ∈ A;

Com isso estamos afirmando que se x é chefe de y e y é chefe de z, então x é chefe de z. Logo a relação R é transitiva, pois um funcionário que é chefe de outro também é chefe do subordinado deste.

Questão 2

Temos que A={j, o, s} e tomemos como exemplo a relação R = {(j, j), (o, o), (s, s), (j, o), (o, s)}
Vemos que R é reflexiva, pois (x, x) ∈ R para qualquer que seja x ∈ A. Neste exemplo, (x, x) assume os seguintes valores: (j, j), (o, o) e (s, s).

Percebemos também que R não é simétrica pois existe x, y ∈ A | (x, y) ∈ R e (y, x) ∉ R. No exemplo dado vemos que (x ,y) ∈ R assume os valores (j, o) e (o, s) e dessa forma existe (o, j), (s, o) ∉ R;

Por fim, constata-se que esta relação não é transitiva, pois existe x, y, z ∈ A | (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R e (x, z) ∉ R. No exemplo dado x, y e z assumem os valores j, o e s, respectivamente.

Questão 3

“Seé uma função polinomial, então é contínua em todo x ∈ ℝ”

Hipótese: é uma função polinomial;

Tese: é contínua em todo x ∈ ℝ;

Questão 4

a) Se (p⇒q)(x) é comutativa, então podemos escrevê-la da seguinte forma:
(q⇒p)(x)
Sabemos que p(x) = V e q(x) = F, logo (q⇒p)(x) = V. Dessa forma, vemos que , logo essa operação implicação definida em Pred(A) não é comutativa.

b) Seja r (x) ∈ Pred(A),