Exercicios inferencia

EXERCÍCIOS DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

1. X1 e X2 são v.a. independentes contínuas com função densidade assim definida: fXi (x) = xi−1 e−x/θ θi x > 0, θ > 0 i = 1, 2.

Considere os seguintes estimadores de θ: 1 T1 (X1 , X2 ) = (X1 + X2 ) 3 e diga qual deles é centrado. (Exame 21/7/1992) 2. De uma população normal com variância σ 2 = 6 extraiu-se uma amostra de 25 elementos. Qual a probabilidade de que a amostra tenha uma variância S 2 : a) maior que 9.1; b) entre 3.10 e 9.10? 3. Seja X1 , X2 , ..., X10 uma amostra aleatória de variáveis independentes, retirada de uma população normal N (µ, σ). Seja Y = 10 (Xi − µ)2 . i=1 a) Calcular a probabilidade de que o intervalo aleatório ponto σ 2 . b) Calcule P [Y > 16 σ 2 ]. 4. Seja X uma população com distribuição normal, de média µ e desvio padrão σ=2. Uma amostra aleatória de dimensão 25 foi extraída desta população, com média x = 78.3. a) Calcule o intervalo de confiança a 99% para µ. b) Qual o erro máximo cometido (a 99% de confiança) ao estimar µ por x =78.3? c) Qual deverá ser a dimensão da amostra para que o erro máximo cometido, a 99% de confiança, ao estimar µ por x , não exceda ǫ =0.1?
Y , Y 20.5 3.25

1 T2 (X1 , X2 ) = (X1 + X2 ) 2

contenha o

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5. Uma fábrica de relógios de alta precisão pretende estudar a fiabilidade da sua produção. É escolhida uma amostra aleatória de 10 relógios (de entre a produção de um dia, e após o habitual controlo de qualidade). Ao fim de um mês, estes relógios são confrontados com um relógio padrão e o seu desvio é registado. Resulta que a média da amostra é de 0,7 segundos e o seu desvio padrão 0,4 segundos. Admitindo que a distribuição dos erros dos relógios (relativamente ao relogio padrão) é normal, construa um intervalo de confiança a 90% para o erro médio. Que pode afirmar com 90% de confiança quanto à fiabilidade dos relógios da fábrica? 6. Suponha que o rendimento de um pé de tomateiro expresso em kg é uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio 1 kg.