Exercicios de Matematica

Geometria Analítica – 3º ano
COLÉGIO VISÃO

Professor: Valdir

11. CIRCUNFERÊNCIA

2.3. DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Sejam duas circunferências λ1 e λ2 de raios R e r e centros
O1 e O2. As posições relativas dessas circunferências são:

1. DEFINIÇÃO E EQUAÇÕES
Consideremos uma circunferência λ de centro C(a, b) e raio
r. Se um ponto P(x, y) pertence à λ, pode-se concluir que a distância do ponto P até o ponto C é igual a raio da circunferência. Neste caso, teremos:

a) Disjuntas externas ou exteriores
•
•

d>R+r λ1 ∩ λ2 = ∅

λ1

λ2
O1

R

O2

⇒ Equação reduzida de λ.

(x – a)² + (y – b)² = r²

Desenvolvendo a equação acima, teremos: x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0 ⇒ Equação geral de λ

d

2. POSIÇÕES RELATIVAS
b) Tangentes externas
2.1 – PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Seja o ponto P(x, y) e a circunferência de equação reduzidas dada por: (λ) (x –a)² + (y – b)² = r², sendo (a, b) o centro e r o raio.
a) (x – a)² + (y – b)² < r² ⇒ P(x, y) está no interior de λ
b) (x – a)² + (y – b)² = r² ⇒ P(x, y) pertence à λ
c) (x – a)² + (y – b)² > r² ⇒ P(x, y) está no exterior de λ

•
•

d=R+r λ1 ∩ λ2 = {P}

λ1 λ2 O1

r

R

O2

P

d

2.2. RETA E CIRCUNFERÊNCIA
a) Reta r secante à circunferência λ de centro O e raio R.

c) Secantes

•
•

•
•

dR λ∩r=∅ λ

e) Disjuntas internas
•
•

d < |R – r| λ1 ∩ λ2 = ∅

λ2
R
λ1

O2 r O1

d
O

r

d

λ2

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

Substituindo na equação da circunferência

01. A equação de uma circunferência é dada por x² + y² – 6x +
8y + 21 = 0. Determine o centro e o raio desta circunferência.

x² - 4x + 4 + 4 - 4x + x² =

Resolução:

∆ = 400 ⇒ x’ = 9/2

Comparando com a equação geral, teremos:

25
2

⇒

4x² - 16x – 9 = 0 ⇒

e x’’= -1/2

Logo os pontos de encontro da reta com a circunferência são:

– 2.a = – 6 ⇒ a = 3
– 2.b = 8 ⇒ b = – 4 a² + b² – r² = 21 ⇒ r² = 25 – 21 ⇒ r = 2

A( 9/2,-3/2) e B(-1/2,7/2)