exercicios de calculo 2

EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II – LISTA 1

A INTEGRAL DEFINIDA
∫ sinal de integral b a − limite inferior b − limite superior f(x) − integrando
{ x − variável de integração

∫ f(x)dx; a b

a

a

Definição. Se a > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx, se ∫ f(x)dx existir. a a

b

b

Definição. Se f(a)existir ∫ f(x)dx = 0. a b

Teorema. ∫ kdx = k(b − a), se k for uma constante qualquer. a b

b

Teorema. ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx, se k for uma constante qualquer. a b

a

b

b

Teorema. ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx. a b

c

a

a

b

Teorema. ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx , onde a < 𝑐 < 𝑏. a a

c

b

b

Teorema. Se f(x) ≥ g(x) em [a, b], então ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx. a a

Teorema. Se f tem um valor máximo M e um valor mínimo m em [a, b], então b b

b

m(b − a) ∫ f(x)dx ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) ∫ f(x)dx. a a

a

Teorema(T.V.M. para integrais)
Se f for contínua em [a, b], então existe um número χ em [a, b], tal que f(χ) =
Definição. O valor médio de uma função f, em [a, b]será dado por V. M. =
Teorema – Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.

b
1
∫ f(x)dx. b−a a

b
1
∫ f(x)dx. b−a a

x

Se f for contínua em [a, b] então a função F definida por F(x) = ∫ f(t)dt será contínua em [a, b] a d x e derivável em (a, b) e sua derivada será F′ (x) = ∫ f(t)dt = f(x). dx a
Teorema – Segundo Teorema Fundamental do Cálculo.
Se f for contínua em [a, b] e se F for qualquer antiderivada de f em [a, b], então b ∫ f(t)dt = F(b) − F(a) a ÁREAS
Definição. Se f for uma função não negativa e integrável em um intervalo fechado [a, b], então a área da região limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b será dada por b A = ∫ f(x)dx a Definição. Se f e g forem funções integráveis em um intervalo fechado [a, b] e tais que f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b], então a área de região limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e pelas retas x = a e x = b será dada por b

A = ∫ [f(x) − g(x)]dx a EXERCÍCIOS
01. Calcular as integrais definidas.
4
3 x a) ∫ ( + 3) dx
b) ∫