Exames de Matemática

Ficha de Problemas de Trigonometria 11º Ano Ano Lectivo 2013/2014 Outubro 2013 1. Pretende-se construir uma canalização ligando as povoações e , situadas a uma da outra, partindo da fonte de abastecimento localizada em F como se indica na figura.
A canalização é formada por canos: um que vai de até e dois que partem de , um para e outro para .
O ponto P está a igual distância de e de .
O ponto , médio de , dista de F. é a amplitude do ângulo ;
1.1. Tomando para unidade o km, mostre que o comprimento total da canalização é dado por:
1.2. Calcule e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente comprimento.

2. Calcule a área e o perímetro da área sombreada da figura considerando como unidade o decímetro

3. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular.
Sabe-se que:
A base da pirâmide tem centro F e lado 2;
G é o ponto médio da aresta [BC];
X designa a amplitude do ângulo EGF.
3.1. Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de x, por:

3.2. Calcule a área total da pirâmide para . Apresente o resultado na forma de fracção com denominador racional.
3.3. Mostre que o volume da pirâmide é dado, em função de x por:

4. Na figura está representado a sombreado um polígono [ABEG].
[ABEG] é um quadrado de lado 2.
FD é um arco de circunferência de centro em B; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre [EC] [BD]. designa a amplitude, em radianos, do ângulo DBE
4.1. Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de , por:

4.2. Determine . Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.

5. Na figura está representado um quadrado de lado 1.
O ponto E desloca-se sobre o lado [AB] e o ponto F desloca-se sobre o lado [AD], de tal forma que se tem . Para cada posição do ponto E, seja a amplitude do ângulo BEC .
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