Exame mat 2011 12 resolvido

Sociedade Portuguesa de Matemática Av. da República 45 - 3ºesq., 1050–187 Lisboa Tel. [phone] / Fax [phone] www.spm.pt [e-mail]

Proposta de Resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática para o Exame Nacional de Matemática A Prova 635, 1ª fase – 27 de Junho de 2011 Grupo I 1 Versão 1 Versão 2 Grupo II 1.1. Utilizando a regra de Ruffini: 1 1 1 D B 2 A C 3 C A 4 B D 5 C C 6 D A 7 B C 8 B D

−1
1 0

16 0 16

-16 16 0 = resto

z 3 − z 2 + 16 z − 16 = ( z − 1)(z 2 + 16) = ( z − 1)(z + 4i)(z − 4i)
Cálculo auxiliar: z 2 + 16 = 0 ⇔ z 2 = −16 ⇔ z = −4i ∨ z = 4i Assim, as raízes do polinómio na forma trigonométrica: ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 1 = cis0 , − 4i = 4cis⎜ − ⎟ e 4i = 4cis⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛ nπ ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎛ π nπ ⎞ z 2 × z 3 = 5i × cis⎜ ⎟ = 5cis⎜ ⎟ cis⎜ ⎟ = 5cis⎜ + ⎟ como a imagem ⎝ 40 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 40 ⎠ ⎝ 2 40 ⎠ geométrica de z 2 × z 3 está no terceiro quadrante e pertence à bissectriz dos quadrantes 5π ímpares vem que arg( z 2 × z 3 ) = + 2kπ , k ∈ Ζ . Assim, 4
1.2.

π
2

+

nπ 5π nπ 3π = + 2kπ , k ∈ Ζ ⇔ = + 2kπ , k ∈ Ζ ⇔ n = 30 + 80k , k ∈ Ζ 40 4 40 4

Fazendo k = 0 temos o menor natural que satisfaz o pretendido que é n = 30 .

2.1. Seja X a variável aleatória que dá o número de jovens, de entre os 9, que utilizaram cartão multibanco. X segue uma distribuição binomial com n = 9 e p = 0,6 . Assim, P( X = 6) = 9C 6 × 0,6 6 × 0,4 3 ≈ 0,25 . 2.2. No universo formado pelo conjunto dos passageiros que optam pelo destino Berlim ou Paris, com bilhetes a baixo custo, sejam os acontecimentos: B: “O destino é Berlim” P:” O destino é Paris” V:”Efectua o voo” Sabe-se que:

P (V | B ) = 0,05 ; P(V | P) = 0,92 logo P(V | P) = 1 − 0,92 = 0,08

P( B) = 0,3 logo P( P) = 1 − 0,3 = 0,7
P(V ) = P(V ∩ P) + P(V ∩ B) = P(V | P) × P( P) + P(V | B) × P( B) = 0,08 × 0,7 + 0,05 × 0,3 = 0,071
3. Tendo-se P( A) > 0 vem que:
1 − P( B) P( A ∩ B) P( A) − 1 + P( B) ⇔ ≥ ⇔ P( A ∩ B) ≥ P( A) + P( B) − 1 ⇔ P( A) P( A) P( A) ⇔ P(