Estudo_dirigido planos

EETI – Escola de
Engenharia e TI
Disciplina:
Curso:
Professor (a):

GAAL – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Engenharias
Lourena Cruz

Estudo Dirigido
Esta apostila é para direcionar o estudo de Equações de Planos e Posição relativa entre Planos. Com base nele faremos a atividade em dupla da primeira unidade, que será um estudo dirigido sendo avaliado em sala com uma atividade escrita em dupla, valendo 2 pontos.

DETERMINAÇÃO: O plano pode ser determinado por:
• Por três pontos não alinhados passa um único plano.
• Por uma reta e um ponto não pertencente à reta, passa um único plano.
• Por duas retas paralelas (não coincidentes) passa um único plano.
• Por duas retas concorrentes passa um único plano.
Equação vetorial
Seja o plano π determinado pelos pontos A , B e C não colineares. Temos que os vetores AB e AC não são paralelos.
Um ponto P pertence ao plano π se e somente se o vetor AP é coplanar com os vetores AB e AC.

Obs: Três vetores u , v e w são coplanares se e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros. Daí, temos:

P-A=

Onde P é qualquer ponto do plano os vetores tenham representantes no plano.

são vetores não paralelos que

Obs.: Os vetores usados são chamados de vetores diretores do plano.
Logo a equação vetorial de um Plano que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores

é dada por:

Exemplo: Dados os pontos A(1,5,3), B(4,7,5) e C(-2,4,-3) dê a equação vetorial do plano que passa pelos pontos A, B e
C.
Precisamos de um ponto qualquer do plano e dois vetores pode ser
.

P= A +
Equações paramétricas
Sejam os vetores u = (a1,b1,c1) e v = (a2, b2, c2) paralelos ao plano π e P0 = (x0, y0, z0) um ponto do plano π, a equação vetorial de π é:
: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a1,b1,c1) + h (a2, b2, c2); t e h ϵ R, daí pela condição de igualdade temos: x = x 0 + t a 1 + h a2 y = y0 + tb1 + h b2 ; t e h ϵ R z = z0 + tc1 + h c2

Estas são as equações paramétricas de π.
Exemplo: Escreva a equação vetorial do plano do exemplo