Equações lineares de 2ªordem

Equações Diferenciais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Equações Diferenciais
Lineares de Segunda
Ordem

EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM
Uma equação diferencial linear de segunda ordem é aquela que pode ser escrita na forma

d²y dy  b  cy  0 dx ² dx Os coeficientes b e c podem ser constantes ou funções de x.

EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM
Para resolvermos a equação diferencial

d²y dy  b  cy  0 dx ² dx Devemos encontrar uma função cuja derivada segunda, d ² y , seja uma soma de múltiplos de dx ² dy e y. dx y  Ce rx
Uma possível solução é a função exponencial

em que r pode ser um número complexo.

EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM
Para determinar r, substituímos na equação diferencial: d²y dy rx rx rx
 b  cy  r ²Ce  b.rCe  c.Ce  0 dx² dx
Podemos dividir esta equação por y  Ce desde que C  0 , pois a função exponencial rx nunca é zero. Assim, y  Ce será uma solução da equação diferencial se rx r ²  br  c  0

EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM
Essa equação r ²  br  c  0 é chamada equação característica associada à equação diferencial. As possíveis soluções são:

b
r 1 
 b  b²  4ac

r

2a
r   b 
2


b²  4ac
2a
b²  4ac
2a

EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM
Existem três tipos diferentes de solução para a equação diferencial d²y dy
 b  cy  0 dx ² dx Dependendo das soluções da equação característica serem reais, complexas ou repetidas, o que é determinado pelo valor de

b²  4ac

EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM
1) Caso superamortecido: b²  4ac

0

A solução geral da equação diferencial

d²y dy  b  cy  0 dx ² dx É y  C1e  C2e , sendo r1 e r2 as soluções da equação característica r1 x

r2 x

r ²  br  c  0

EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM
Exemplo 1:
Uma mola está imersa em óleo e satisfaz a d 2s ds equação diferencial 2  3  2s  0 . Resolva dt dt

essa equação com as condições iniciais ds s(0)  0,5 e
4
dt t