Equacoes modulares

GUIDG.COM – PG. 1

27/9/2010 – CDI-1: Exercícios resolvidos.
Livro: Calculo A – Funções, Limite, Derivação, Noções de integração (5ª Edição, revista e ampliada) - Diva Marília Flemming, Mirian Buss Gonçalves.

(Números reais, pg. 15) 1.6 Exercícios. (Equações modulares, Módulo, Números Reais) 2. Resolver as equações em R. a |5x @ 3| = 12 b | @ 4 + 12x| = 7 c |2x @ 3| = |7x @ 5| a a a

e

f |3x + 2| = 5 @ x g |9x| @ 11 = x h 2x @ 7 = |x| + 1 a a a

L M aL3xffff fffff fffff f+ 8M L fffff M L M L2x @ 3M= 4

d

L M aL xffff + 2M ffff ffff L fffff M L M L x @ 2M = 5

Resoluções: a |5x @ 3| = 12 a Solução:
Aplicando a definição de módulo:

5x ≥ 3 |5x @ 3| ^ f f ^ ^x ≥ 3f ^ ^ Z 5
Então para x ≥

X ^5x @ 3 ≥ 0 ^ ^ ^ ^ \

x=3

5x @ 3 = 12 b c 5x = 15 dividindo por 5 nos dois lados da equação
5f f f : 3 b c ` a @ 5x @ 3 = 12 multiplicando por @ 1 dos dois lados da equação

5f f f : 3

3 então |5x @ 3| = ^ ^ ` f f ^@ 5x @ 3a se x < 5f ^ ^ Z 3

X ^` ^ f f ^ 5x @ 3a se x ≥ 5f ^ ^ \

E para x <

5x @ 3 = @ 12 5x = @ 9 9f f f x=@ 5

9f f f Assim a solução final é: S = @ , 3 5 Ou seja, o conjunto dos números que tornam verdadeira a equação modular. Essas primeiras propriedades básicas e a definição não serão mais citadas, mas não significa que não estarão sendo aplicadas, e o processo é sempre o mesmo, não se preocupe.

V

W

GUIDG.COM – PG. 2 b | @ 4 + 12x| = 7 Solução: X a 3 | @ 4 + 12x| = ^ a ^ ` f f ^@ @ 4 + 12x se x < 1f ^ ^ Z 3 1f f f x≥ 3 @ 4 + 12x = 7 12x = 11 11f ff ff f f x= 12 x< 1f f f 3 ` a @ @ 4 + 12x = 7 @ 4 + 12x = @ 7 12x = @ 3 3f 1f ff ff ff f f f x =@ =@ 12 4
V W

^` ^ f f ^ @ 4 + 12x a se x ≥ 1f ^ ^ \

1f 11f f ff f ff f f f S= @ , 4 12

c |2x @ 3| = |7x @ 5| Solução: X a ^` ^ ^ 2x @ 3a ^ ^ \

3f f f se x ≥ 2 |2x @ 3| = ^ ^ ` f f ^@ 2x @ 3a se x < 3f ^ ^ Z 2

5f f f f 7 |7x @ 5| = ^ ^ ` f f f ^@ 7x @ 5a se x < 5f ^ ^ Z 7 se x ≥

X ^` ^ ^ 7x @ 5a ^ ^ \

Analisando a reta, temos três casos: