Entendendo O Teorema De Bayes 1

Entendendo o Teorema de Bayes

Vejamos o assunto por meio de um exemplo:
A cidade de Diabetelândia tem 10.000 habitantes, sendo 4.400 velhos, 3.300 jovens, 2.300 crianças. Os dados mostram que nesta cidade está havendo uma desertificação urbana em virtude da falta de empregos.
Foi realizada uma pesquisa pela Secretaria de Saúde onde se constatou uma grande incidência de diabetes na população. A pesquisa revelou que 132 velhos são portadores da doença, 33 jovens são portadores e 46 crianças são portadoras. Assim:

Muitas vezes esta tabela vem dada em porcentagens. Assim:

Porém, quando chega ao hospital um velho (um pedaço da população), a chance dele ser diabético é encontrada dividindo-se 132 por 4.400 (132  4.400 = 0,03 ou 3%). A chance aumentou porque restringimos o atendimento apenas aos velhos.
Matematicamente escrevemos esta probabilidade CONDICIONAL (ser portador de diabetes E velho) da seguinte maneira: P(X|V). Aqui X significa ser diabético e V significa ser velho. Lemos este símbolo assim: a probabilidade P de ser diabético dado que seja velho.
Note que além de ser velho, tem que ser diabético (coitado!). Isto mostra que colocamos uma condição entre os velhos. Lembre-se que nesta cidade existem muitos velhos que não são diabéticos. Estes, como mostra a figura acima totalizam 4.400 – 132 = 4.268 velhos sem a doença.
Como vimos esta probabilidade foi calculada tomando todos os velhos E diabéticos (132) que estão no conjunto intersecção [Velho  Diabéticos] e dividido pela quantidade de velhos da cidade (4.400). Então,

Lembrem-se que, os eventos ser velho e ser diabético são INDEPENDENTES. Isto significa que ser velho não precisa ser diabético e ser diabético não precisa ser velho ou, em outras palavras, nem todo velho é diabético e nem todo diabético é velho.
A expressão acima poderia ser calculada de outra maneira:

Repetindo isto para as outras categorias podemos montar a seguinte tabela:

Cabe aqui a pergunta: Qual a probabilidade de um velho ser