Engenharia

Apostila de Cálculo II - Estudo das Derivadas – Parte 1
Prof. Vitor Principe

1. Introdução
Vamos considerar duas grandezas, x e y, que variam de forma tal que y é uma função de x, isto é, y = f(x).
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = 𝒙𝟎 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = 𝒙𝟎 , ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto 𝒙𝟎 .
Vamos construir o gráfico:

A esse valor ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥! denominamos incremento da variável x
A esse valor ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥! ), denominamos incremento da função y = f(x).
Exemplo:
Seja a função f(x) = 2x + 10
Se x passa de 3 para 8, por exemplo, temos:

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Prof. Vitor Principe

1.1 Definição de razão incremental
∆!

Denomina-se razão incremental da função y = f(x) relativa ao ponto 𝑥! , a expressão ∆!
Assim, temos:
∆!
∆!

=

Exemplo:

! ! !!(!! )
!!!!

∆!

𝑜𝑢 ∆! =

! !! !∆! !!(!! )
!!!!

Calcular a razão incremental da função f(x) = 2x + 3 relativa ao ponto 𝑥! = 3.

1.2 Exercícios:
1) Calcule a razão incremental:
a) da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 ! − 1 relativa ao ponto 𝑥! = 2.
b) da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 ! − 2𝑥 + 1 relativa ao ponto 𝑥! = 1.

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Prof. Vitor Principe

2. Derivada num ponto
Denomina-se derivada de uma função y = f(x) no ponto 𝑥! , que se indica por 𝑓 ! 𝑥! ,
!" ! , o limite finito, caso exista, da razão incremental da função, quando ∆𝑥 0.
!"
!"

!"(!)

Daí
𝑓 ! 𝑥! = 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥! = lim∆!

∆!
! ∆!

Pode-se, então, escrever:

Observações:
•
•
•

Se a função y = f(x) admite derivada em um ponto 𝑥! , dizemos que a função é derivável nesse ponto.
A derivada em um ponto 𝑥! , quando existe, é única.
Quando a razão Incremental da função, relativa ao ponto 𝑥! , tem