Engenharia

TRABALHO DA 3ª CERTIFICAÇÃO

1. Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x – 5 e x – 2y + 5 = 0.

a) Quais as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas?

b) Qual a área do triângulo ABC?

Solução. As retas são concorrentes e suas interseções serão os vértices do triângulo. A área será encontrada aplicando a fórmula que envolve um determinante 3 x 3.

a) Os sistemas permitem encontrar as interseções duas a duas:

.

.

Logo, as coordenadas dos vértices são: (3,1); (– 3, 1) e (5,5).

b) Cálculo da área: .
2. A reta r de equação intercepta a circunferência de centro na origem e raio em dois pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas positivas. Determine:

a) a equação da circunferência e os pontos P e Q

b) a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P.

Solução. O coeficiente angular da reta é positivo e o linear é nulo. Logo a reta passa pela origem e intercepta a circunferência no 1º e 3º quadrantes.

a) A equação da circunferência de centro (0,0) e raio é:

.

Os pontos de interseção serão calculados pelo sistema com as equações da reta e circunferência.

.

Como as coordenadas de P são positivas, temos que P = (2,1) e Q = (-2, -1).

b) O coeficiente angular da reta r é , logo o coeficiente angular de s é (inverso do simétrico), pois são perpendiculares. Como P pertence a s, temos:

. Logo a equação de s é: .

3. Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1, -1) e (-3, 4) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares XY. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eixo vertical Y.

Solução. Um ponto pertencente ao eixo vertical Y é da forma P(0, y). Se o triângulo é isósceles, então as distâncias do terceiro vértice aos vértices da base são iguais:

. 4. Sabendo que a circunferência x2 + y2 – 6x + 4y + p = 0 possui apenas um ponto em comum com a reta y = x – 1, calcule o valor de p.