Enenharia de produção

Material de Apoio sobre Produto Escalar
Os Produtos de Vetores que iremos estudar são: Produto escalar, Produto Vetorial e Produto Misto.
Vamos iniciar este estudo aprendendo a definição do Produto Escalar entre dois vetores e alguns conceitos sobre vetores que utilizam o produto escalar nas su as definições, são eles:
 módulo de um vetor,
 versor de um vetor,
 distância entre dois pontos,
 ângulo entre dois vetores,
 condição de ortogonalidade entre dois vetores e
 projeção de um vetor sobre outro vetor.
Vamos lá então!

1. Produto Escalar
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Chama-se produto escalar de dois vetores u  ( x1 , y1 , z1 ) e v  ( x2 , y2 , z 2 ) , o número real 

u . v  x1 x2  y1 y2  z1 z 2

Exemplos:
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1) u  (3,5,8) e v  (4,2,1)


u . v  3.4  (5).(2)  8.(1)  12  10  8  14





2) u  (2,1) e v  (4,0)
Faça você! Acredito que você consegue.
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3) Dados u  (1,2,3) , v  (0,1,2) , A(1,3,0) e B  (1,1,1) , determinar u . ( v  BA) .
Solução:
Faça você! Acredito que você consegue.
Faça você! Acredito que você consegue.

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Material de Apoio sobre Produto Escalar
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4) Dados u  (4, ,1) , v  ( ,2,3) , A(4,1,2) e B(3,2,1) , determinar  tal que
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



u . ( v  BA)  5.
Solução:
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Primeiro temos que encontrar BA :


BA  A  B  (4,1,2)  (3,2,1)  (1,3,3)
Então,
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v  BA  ( ,2,3)  (1,3,3)  (  1,1,6)

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



u . ( v  BA)  5  (4, ,1).(  1,1,6)  5  4(  1)    6  5  4  4    6  5 

7
3  5  2  3  7    .
3
Portanto,  

1.1.

7
.
3

Módulo de um Vetor
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Módulo de um vetor v , representado por v , é o número real não negativo
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v  v.v

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







Se v  R 2 , ou seja, v  ( x, y) então v  v . v  ( x, y ).( x, y )  x 2  y 2



Se v  R 3 , ou seja, v  ( x, y, y) então




v  v . v  ( x, y, z ).( x, y, z )  x 2  y