Atps calculo

FACULDADE ANHANGUERA DE SUMARÉ

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
Cálculo II

Sumaré
2013

1 ETAPA I

1.1 Velocidade instantânea

Encontrar a velocidade instantânea de um corpo em determinado instante pode ser surpreendentemente difícil, pois ao colocar o foco num único instante, para-se o movimento.
Então para analisar o movimento de certo corpo em determinado instante é preciso escolher pequenos intervalos de tempo aplicando o conceito de velocidade média. Ao escolher intervalos de tempo cada vez menores as velocidades médias tende a ficar logo abaixo ou logo acima de um limite.
Sabendo que ∆t = t1 – t0 logo t1 = t0 + ∆t e também ∆s = s(t1) – s(t0) = s(t0 + ∆t) – s(t0), teremos então a fórmula vm= ∆s/∆t = s(t0 + ∆t) – s(t0) / ∆t, que corresponde à fórmula usada em calculo para achar a derivada de uma função qualquer a partir do conceito de limites f’(x)=lim h-0 f(x+h) – f(x) / h.
Utilizando o conceito de derivação podemos verificar que a função velocidade é a derivada da função espaço, considerando como exemplo um corpo com aceleração média de 24m/s2, temos:
S(t) = s0 + v0.t + at2/2
S(t) = 0 + 0.t +24t2/2
S(t) = 12t2
Logo a derivada da função espaço é:
S’(t) = lim∆t-0 [12(t+∆t)2 – 12t2] / ∆t
S’(t) = lim∆t-0 [12(t2+2t.∆t+∆t2) – 12t2] / ∆t
S’(t) = lim∆t-0 [12t2+24t.∆t+12∆t2 – 12t2] / ∆t
S’(t) = lim∆t-0 [24t.∆t+12∆t2] / ∆t
S’(t) = lim∆t-0 [∆t(24t +12∆t)] / ∆t
S’(t) = lim∆t-0 24t +12∆t
S’(t) = 24t +12.0 = 24t
S’(t) = 24t

Gráfico das funções espaço S(t) (vermelho) e velocidade S’(t) (verde):

A partir das funções espaço e velocidade podem-se achar variações de velocidade e espaço. Usando o exemplo anterior e levando em consideração o intervalo de 0 a 5s temos:
S(t) = 12t2
S(t) = 12.52
S(t) = 300
Logo o espaço percorrido no intervalo de tempo de 0 a 5s foi de 300 metros.
S’(t) = 24t
S’(t) = 24.5
S’(t) = 120
Logo a velocidade instantânea no instante 5s foi 120 m/s.

1.2 Aceleração instantânea

Diz-se que um corpo